Theorem ssntr 15405

Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior.

Hypothesis

Ref	Expression
ssntr.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
ssntr	|- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ (O e. J /\ O C_ S)) -> O C_ ((int` J)` S))

Proof of Theorem ssntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 2637	. . . . 5 |- (o = O -> (o C_ S <-> O C_ S))
2	1	elrab 2414	. . . 4 |- (O e. {o e. J | o C_ S} <-> (O e. J /\ O C_ S))
3		elssuni 3206	. . . 4 |- (O e. {o e. J | o C_ S} -> O C_ U.{o e. J | o C_ S})
4	2, 3	sylbir 218	. . 3 |- ((O e. J /\ O C_ S) -> O C_ U.{o e. J | o C_ S})
5	4	adantl 424	. 2 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ (O e. J /\ O C_ S)) -> O C_ U.{o e. J | o C_ S})
6		ssntr.1	. . . 4 |- X = U.J
7	6	ntrval 8952	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((int` J)` S) = U.{o e. J | o C_ S})
8	7	adantr 425	. 2 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ (O e. J /\ O C_ S)) -> ((int` J)` S) = U.{o e. J | o C_ S})
9	5, 8	sseqtr4d 2654	1 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ (O e. J /\ O C_ S)) -> O C_ ((int` J)` S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  intcnt 8937

This theorem is referenced by:  ntrin 15411  opnregcld 15415  cnntr 15420  subntr 15425  isnrm2 15552

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-ntr 8940

Copyright terms: Public domain