Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnnssfz Structured version   Unicode version

Theorem ssnnssfz 28045
 Description: For any finite subset of , find a superset in the form of a set of sequential integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
ssnnssfz
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ssnnssfz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10587 . . 3
2 simpr 459 . . . 4
3 0ss 3768 . . . 4
42, 3syl6eqss 3492 . . 3
5 oveq2 6286 . . . . 5
65sseq2d 3470 . . . 4
76rspcev 3160 . . 3
81, 4, 7sylancr 661 . 2
9 elin 3626 . . . . . . 7
109simplbi 458 . . . . . 6
1110adantr 463 . . . . 5
1211elpwid 3965 . . . 4
13 nnssre 10580 . . . . . . 7
14 ltso 9696 . . . . . . 7
15 soss 4762 . . . . . . 7
1613, 14, 15mp2 9 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
189simprbi 462 . . . . . 6
1918adantr 463 . . . . 5
20 simpr 459 . . . . 5
21 fisupcl 7961 . . . . 5
2217, 19, 20, 12, 21syl13anc 1232 . . . 4
2312, 22sseldd 3443 . . 3
2412sselda 3442 . . . . . . 7
25 nnuz 11162 . . . . . . 7
2624, 25syl6eleq 2500 . . . . . 6
2724nnzd 11007 . . . . . . 7
2812adantr 463 . . . . . . . . 9
2922adantr 463 . . . . . . . . 9
3028, 29sseldd 3443 . . . . . . . 8
3130nnzd 11007 . . . . . . 7
32 fisup2g 7960 . . . . . . . . . . . 12
3317, 19, 20, 12, 32syl13anc 1232 . . . . . . . . . . 11
34 ssrexv 3504 . . . . . . . . . . 11
3512, 33, 34sylc 59 . . . . . . . . . 10
3617, 35supub 7952 . . . . . . . . 9
3736imp 427 . . . . . . . 8
3824nnred 10591 . . . . . . . . 9
3930nnred 10591 . . . . . . . . 9
4038, 39lenltd 9763 . . . . . . . 8
4137, 40mpbird 232 . . . . . . 7
42 eluz2 11133 . . . . . . 7
4327, 31, 41, 42syl3anbrc 1181 . . . . . 6
44 eluzfz 11737 . . . . . 6
4526, 43, 44syl2anc 659 . . . . 5
4645ex 432 . . . 4
4746ssrdv 3448 . . 3
48 oveq2 6286 . . . . 5
4948sseq2d 3470 . . . 4
5049rspcev 3160 . . 3
5123, 47, 50syl2anc 659 . 2
528, 51pm2.61dane 2721 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2754  wrex 2755   cin 3413   wss 3414  c0 3738  cpw 3955   class class class wbr 4395   wor 4743  cfv 5569  (class class class)co 6278  cfn 7554  csup 7934  cr 9521  c1 9523   clt 9658   cle 9659  cn 10576  cz 10905  cuz 11127  cfz 11726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727 This theorem is referenced by:  esumfsup  28517  esumpcvgval  28525
 Copyright terms: Public domain W3C validator