Theorem ssnnfi 5629

Description: A subset of a natural number is finite.

Assertion

Ref	Expression
ssnnfi	|- ((A e. om /\ B C_ A) -> B e. Fin)

Proof of Theorem ssnnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnn 5628	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B C. A) -> E.x e. A B ~~ x)
2		elnn 3962	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ A e. om) -> x e. om)
3	2	expcom 403	. . . . . . . 8 |- (A e. om -> (x e. A -> x e. om))
4	3	anim1d 619	. . . . . . 7 |- (A e. om -> ((x e. A /\ B ~~ x) -> (x e. om /\ B ~~ x)))
5	4	reximdv2 2200	. . . . . 6 |- (A e. om -> (E.x e. A B ~~ x -> E.x e. om B ~~ x))
6	5	adantr 425	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B C. A) -> (E.x e. A B ~~ x -> E.x e. om B ~~ x))
7	1, 6	mpd 29	. . . 4 |- ((A e. om /\ B C. A) -> E.x e. om B ~~ x)
8		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (B = A -> (B e. om <-> A e. om))
9	8	biimparc 463	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B = A) -> B e. om)
10		enrefg 5449	. . . . . 6 |- (B e. om -> B ~~ B)
11	10	ancli 320	. . . . 5 |- (B e. om -> (B e. om /\ B ~~ B))
12		breq2 3342	. . . . . 6 |- (x = B -> (B ~~ x <-> B ~~ B))
13	12	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- ((B e. om /\ B ~~ B) -> E.x e. om B ~~ x)
14	9, 11, 13	3syl 24	. . . 4 |- ((A e. om /\ B = A) -> E.x e. om B ~~ x)
15	7, 14	jaodan 471	. . 3 |- ((A e. om /\ (B C. A \/ B = A)) -> E.x e. om B ~~ x)
16		sspss 2707	. . 3 |- (B C_ A <-> (B C. A \/ B = A))
17	15, 16	sylan2b 501	. 2 |- ((A e. om /\ B C_ A) -> E.x e. om B ~~ x)
18		isfi 5441	. 2 |- (B e. Fin <-> E.x e. om B ~~ x)
19	17, 18	sylibr 217	1 |- ((A e. om /\ B C_ A) -> B e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593   C. wpss 2594   class class class wbr 3338  omcom 3949   ~~ cen 5423  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  ssfi 5630  isfinite2 5639  unifi 5648  pwfi 5661  emfin 10165  setwoe 10170  set2elt 14408

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain