MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Structured version   Unicode version

Theorem ssnnfi 7646
Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 3566 . . 3  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  C.  A  \/  B  =  A ) )
2 pssnn 7645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
3 elnn 6599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e.  om )  ->  x  e.  om )
43expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  om )
)
54anim1d 564 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( x  e.  A  /\  B  ~~  x )  ->  ( x  e. 
om  /\  B  ~~  x ) ) )
65reximdv2 2931 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  A  B  ~~  x  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x
) )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  -> 
( E. x  e.  A  B  ~~  x  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x ) )
82, 7mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
9 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  ( B  e.  om  <->  A  e.  om ) )
109biimparc 487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  =  A )  ->  B  e.  om )
11 enrefg 7454 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  B  ~~  B )
1211ancli 551 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  e.  om  /\  B  ~~  B ) )
13 breq2 4407 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( B  ~~  x  <->  B  ~~  B ) )
1413rspcev 3179 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  B  ~~  B )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
1510, 12, 143syl 20 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  =  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
168, 15jaodan 783 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  C.  A  \/  B  =  A )
)  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
171, 16sylan2b 475 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
18 isfi 7446 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
1917, 18sylibr 212 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800    C_ wss 3439    C. wpss 3440   class class class wbr 4403   omcom 6589    ~~ cen 7420   Fincfn 7423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-om 6590  df-en 7424  df-fin 7427
This theorem is referenced by:  ssfi  7647  0fin  7654  en1eqsn  7656  isfinite2  7684  pwfi  7720  wofib  7874  infpwfien  8347  fin67  8679  hashcard  12246  rexpen  13632
  Copyright terms: Public domain W3C validator