MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ssnnfi 7796
Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 3534 . . 3  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  C.  A  \/  B  =  A ) )
2 pssnn 7795 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
3 elnn 6707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e.  om )  ->  x  e.  om )
43expcom 437 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  om )
)
54anim1d 568 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( x  e.  A  /\  B  ~~  x )  ->  ( x  e. 
om  /\  B  ~~  x ) ) )
65reximdv2 2860 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  A  B  ~~  x  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x
) )
76adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  -> 
( E. x  e.  A  B  ~~  x  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x ) )
82, 7mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
9 eleq1 2519 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  ( B  e.  om  <->  A  e.  om ) )
109biimparc 490 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  =  A )  ->  B  e.  om )
11 enrefg 7606 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  B  ~~  B )
1211ancli 554 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  e.  om  /\  B  ~~  B ) )
13 breq2 4409 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( B  ~~  x  <->  B  ~~  B ) )
1413rspcev 3152 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  B  ~~  B )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
1510, 12, 143syl 18 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  =  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
168, 15jaodan 795 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  C.  A  \/  B  =  A )
)  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
171, 16sylan2b 478 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
18 isfi 7598 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
1917, 18sylibr 216 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   E.wrex 2740    C_ wss 3406    C. wpss 3407   class class class wbr 4405   omcom 6697    ~~ cen 7571   Fincfn 7574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-om 6698  df-en 7575  df-fin 7578
This theorem is referenced by:  ssfi  7797  0fin  7804  en1eqsn  7806  isfinite2  7834  pwfi  7874  wofib  8065  infpwfien  8498  fin67  8830  hashcard  12544  rexpen  14292
  Copyright terms: Public domain W3C validator