Theorem ssnnfi 7646

Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnfi	|- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> B e. Fin )

Proof of Theorem ssnnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 3566	. . 3 |- ( B C_ A <-> ( B C. A \/ B = A ) )
2		pssnn 7645	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )
3		elnn 6599	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A e. om ) -> x e. om )
4	3	expcom 435	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
5	4	anim1d 564	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( x e. A /\ B ~~ x ) -> ( x e. om /\ B ~~ x ) ) )
6	5	reximdv2 2931	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( E. x e. A B ~~ x -> E. x e. om B ~~ x ) )
7	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> ( E. x e. A B ~~ x -> E. x e. om B ~~ x ) )
8	2, 7	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. om B ~~ x )
9		eleq1 2526	. . . . . 6 |- ( B = A -> ( B e. om <-> A e. om ) )
10	9	biimparc 487	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> B e. om )
11		enrefg 7454	. . . . . 6 |- ( B e. om -> B ~~ B )
12	11	ancli 551	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B e. om /\ B ~~ B ) )
13		breq2 4407	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( B ~~ x <-> B ~~ B ) )
14	13	rspcev 3179	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ B ~~ B ) -> E. x e. om B ~~ x )
15	10, 12, 14	3syl 20	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> E. x e. om B ~~ x )
16	8, 15	jaodan 783	. . 3 |- ( ( A e. om /\ ( B C. A \/ B = A ) ) -> E. x e. om B ~~ x )
17	1, 16	sylan2b 475	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> E. x e. om B ~~ x )
18		isfi 7446	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
19	17, 18	sylibr 212	1 |- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   E.wrex 2800   C_ wss 3439   C. wpss 3440   class class class wbr 4403   omcom 6589   ~~ cen 7420   Fincfn 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-om 6590  df-en 7424  df-fin 7427

This theorem is referenced by:  ssfi  7647  0fin  7654  en1eqsn  7656  isfinite2  7684  pwfi  7720  wofib  7874  infpwfien  8347  fin67  8679  hashcard  12246  rexpen  13632