Theorem ssnnfi 7737

Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnfi	|- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> B e. Fin )

Proof of Theorem ssnnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 3585	. . 3 |- ( B C_ A <-> ( B C. A \/ B = A ) )
2		pssnn 7736	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )
3		elnn 6691	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A e. om ) -> x e. om )
4	3	expcom 435	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
5	4	anim1d 564	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( x e. A /\ B ~~ x ) -> ( x e. om /\ B ~~ x ) ) )
6	5	reximdv2 2912	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( E. x e. A B ~~ x -> E. x e. om B ~~ x ) )
7	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> ( E. x e. A B ~~ x -> E. x e. om B ~~ x ) )
8	2, 7	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. om B ~~ x )
9		eleq1 2513	. . . . . 6 |- ( B = A -> ( B e. om <-> A e. om ) )
10	9	biimparc 487	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> B e. om )
11		enrefg 7545	. . . . . 6 |- ( B e. om -> B ~~ B )
12	11	ancli 551	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B e. om /\ B ~~ B ) )
13		breq2 4437	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( B ~~ x <-> B ~~ B ) )
14	13	rspcev 3194	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ B ~~ B ) -> E. x e. om B ~~ x )
15	10, 12, 14	3syl 20	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> E. x e. om B ~~ x )
16	8, 15	jaodan 783	. . 3 |- ( ( A e. om /\ ( B C. A \/ B = A ) ) -> E. x e. om B ~~ x )
17	1, 16	sylan2b 475	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> E. x e. om B ~~ x )
18		isfi 7537	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
19	17, 18	sylibr 212	1 |- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   E.wrex 2792   C_ wss 3458   C. wpss 3459   class class class wbr 4433   omcom 6681   ~~ cen 7511   Fincfn 7514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-om 6682  df-en 7515  df-fin 7518

This theorem is referenced by:  ssfi  7738  0fin  7745  en1eqsn  7747  isfinite2  7776  pwfi  7813  wofib  7968  infpwfien  8441  fin67  8773  hashcard  12401  rexpen  13833