Theorem ssnnfi 7796

Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnfi	|- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> B e. Fin )

Proof of Theorem ssnnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 3534	. . 3 |- ( B C_ A <-> ( B C. A \/ B = A ) )
2		pssnn 7795	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )
3		elnn 6707	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A e. om ) -> x e. om )
4	3	expcom 437	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
5	4	anim1d 568	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( x e. A /\ B ~~ x ) -> ( x e. om /\ B ~~ x ) ) )
6	5	reximdv2 2860	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( E. x e. A B ~~ x -> E. x e. om B ~~ x ) )
7	6	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> ( E. x e. A B ~~ x -> E. x e. om B ~~ x ) )
8	2, 7	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. om B ~~ x )
9		eleq1 2519	. . . . . 6 |- ( B = A -> ( B e. om <-> A e. om ) )
10	9	biimparc 490	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> B e. om )
11		enrefg 7606	. . . . . 6 |- ( B e. om -> B ~~ B )
12	11	ancli 554	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B e. om /\ B ~~ B ) )
13		breq2 4409	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( B ~~ x <-> B ~~ B ) )
14	13	rspcev 3152	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ B ~~ B ) -> E. x e. om B ~~ x )
15	10, 12, 14	3syl 18	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> E. x e. om B ~~ x )
16	8, 15	jaodan 795	. . 3 |- ( ( A e. om /\ ( B C. A \/ B = A ) ) -> E. x e. om B ~~ x )
17	1, 16	sylan2b 478	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> E. x e. om B ~~ x )
18		isfi 7598	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
19	17, 18	sylibr 216	1 |- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   E.wrex 2740   C_ wss 3406   C. wpss 3407   class class class wbr 4405   omcom 6697   ~~ cen 7571   Fincfn 7574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-om 6698  df-en 7575  df-fin 7578

This theorem is referenced by:  ssfi  7797  0fin  7804  en1eqsn  7806  isfinite2  7834  pwfi  7874  wofib  8065  infpwfien  8498  fin67  8830  hashcard  12544  rexpen  14292