Theorem ssnnfi 7520

Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnfi	|- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> B e. Fin )

Proof of Theorem ssnnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 3443	. . 3 |- ( B C_ A <-> ( B C. A \/ B = A ) )
2		pssnn 7519	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )
3		elnn 6475	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A e. om ) -> x e. om )
4	3	expcom 435	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
5	4	anim1d 559	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( x e. A /\ B ~~ x ) -> ( x e. om /\ B ~~ x ) ) )
6	5	reximdv2 2815	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( E. x e. A B ~~ x -> E. x e. om B ~~ x ) )
7	6	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> ( E. x e. A B ~~ x -> E. x e. om B ~~ x ) )
8	2, 7	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. om B ~~ x )
9		eleq1 2493	. . . . . 6 |- ( B = A -> ( B e. om <-> A e. om ) )
10	9	biimparc 484	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> B e. om )
11		enrefg 7329	. . . . . 6 |- ( B e. om -> B ~~ B )
12	11	ancli 546	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B e. om /\ B ~~ B ) )
13		breq2 4284	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( B ~~ x <-> B ~~ B ) )
14	13	rspcev 3062	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ B ~~ B ) -> E. x e. om B ~~ x )
15	10, 12, 14	3syl 20	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> E. x e. om B ~~ x )
16	8, 15	jaodan 776	. . 3 |- ( ( A e. om /\ ( B C. A \/ B = A ) ) -> E. x e. om B ~~ x )
17	1, 16	sylan2b 472	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> E. x e. om B ~~ x )
18		isfi 7321	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
19	17, 18	sylibr 212	1 |- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   E.wrex 2706   C_ wss 3316   C. wpss 3317   class class class wbr 4280   omcom 6465   ~~ cen 7295   Fincfn 7298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-om 6466  df-en 7299  df-fin 7302

This theorem is referenced by:  ssfi  7521  0fin  7528  en1eqsn  7530  isfinite2  7558  pwfi  7594  wofib  7747  infpwfien  8220  fin67  8552  hashcard  12108  rexpen  13492