MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Structured version   Unicode version

Theorem ssnnfi 7749
Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 3608 . . 3  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  C.  A  \/  B  =  A ) )
2 pssnn 7748 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
3 elnn 6704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e.  om )  ->  x  e.  om )
43expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  om )
)
54anim1d 564 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( x  e.  A  /\  B  ~~  x )  ->  ( x  e. 
om  /\  B  ~~  x ) ) )
65reximdv2 2938 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  A  B  ~~  x  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x
) )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  -> 
( E. x  e.  A  B  ~~  x  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x ) )
82, 7mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
9 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  ( B  e.  om  <->  A  e.  om ) )
109biimparc 487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  =  A )  ->  B  e.  om )
11 enrefg 7557 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  B  ~~  B )
1211ancli 551 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  e.  om  /\  B  ~~  B ) )
13 breq2 4456 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( B  ~~  x  <->  B  ~~  B ) )
1413rspcev 3219 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  B  ~~  B )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
1510, 12, 143syl 20 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  =  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
168, 15jaodan 783 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  C.  A  \/  B  =  A )
)  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
171, 16sylan2b 475 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
18 isfi 7549 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
1917, 18sylibr 212 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818    C_ wss 3481    C. wpss 3482   class class class wbr 4452   omcom 6694    ~~ cen 7523   Fincfn 7526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-om 6695  df-en 7527  df-fin 7530
This theorem is referenced by:  ssfi  7750  0fin  7757  en1eqsn  7759  isfinite2  7788  pwfi  7825  wofib  7980  infpwfien  8453  fin67  8785  hashcard  12405  rexpen  13834
  Copyright terms: Public domain W3C validator