Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnn0ssfz Structured version   Unicode version

Theorem ssnn0ssfz 38902
 Description: For any finite subset of , find a superset in the form of a set of sequential integers, analogous to ssnnssfz 28203. (Contributed by AV, 30-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ssnn0ssfz
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ssnn0ssfz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10884 . . 3
2 simpr 462 . . . 4
3 0ss 3797 . . . 4
42, 3syl6eqss 3520 . . 3
5 oveq2 6313 . . . . 5
65sseq2d 3498 . . . 4
76rspcev 3188 . . 3
81, 4, 7sylancr 667 . 2
9 elin 3655 . . . . . . 7
109simplbi 461 . . . . . 6
1110adantr 466 . . . . 5
1211elpwid 3995 . . . 4
13 nn0ssre 10873 . . . . . . 7
14 ltso 9713 . . . . . . 7
15 soss 4793 . . . . . . 7
1613, 14, 15mp2 9 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
189simprbi 465 . . . . . 6
1918adantr 466 . . . . 5
20 simpr 462 . . . . 5
21 fisupcl 7991 . . . . 5
2217, 19, 20, 12, 21syl13anc 1266 . . . 4
2312, 22sseldd 3471 . . 3
2412sselda 3470 . . . . . . 7
25 nn0uz 11193 . . . . . . 7
2624, 25syl6eleq 2527 . . . . . 6
2724nn0zd 11038 . . . . . . 7
2812adantr 466 . . . . . . . . 9
2922adantr 466 . . . . . . . . 9
3028, 29sseldd 3471 . . . . . . . 8
3130nn0zd 11038 . . . . . . 7
32 fisup2g 7990 . . . . . . . . . . . 12
3317, 19, 20, 12, 32syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11
34 ssrexv 3532 . . . . . . . . . . 11
3512, 33, 34sylc 62 . . . . . . . . . 10
3617, 35supub 7979 . . . . . . . . 9
3736imp 430 . . . . . . . 8
3824nn0red 10926 . . . . . . . . 9
3930nn0red 10926 . . . . . . . . 9
4038, 39lenltd 9780 . . . . . . . 8
4137, 40mpbird 235 . . . . . . 7
42 eluz2 11165 . . . . . . 7
4327, 31, 41, 42syl3anbrc 1189 . . . . . 6
44 eluzfz 11793 . . . . . 6
4526, 43, 44syl2anc 665 . . . . 5
4645ex 435 . . . 4
4746ssrdv 3476 . . 3
48 oveq2 6313 . . . . 5
4948sseq2d 3498 . . . 4
5049rspcev 3188 . . 3
5123, 47, 50syl2anc 665 . 2
528, 51pm2.61dane 2749 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  wrex 2783   cin 3441   wss 3442  c0 3767  cpw 3985   class class class wbr 4426   wor 4774  cfv 5601  (class class class)co 6305  cfn 7577  csup 7960  cr 9537  cc0 9538   clt 9674   cle 9675  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cfz 11782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator