Theorem ssnn0fi 12097

Description: A subset of the nonnegative integers is finite if and only if there is a nonnegative integer so that all integers greater than this integer are not contained in the subset. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ssnn0fi	|- ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin <-> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )

Distinct variable group:   S, s, x

Proof of Theorem ssnn0fi

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 10831	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( S = (/) -> 0 e. NN0 )
3		breq1 4459	. . . . . . . . 9 |- ( s = 0 -> ( s < x <-> 0 < x ) )
4	3	imbi1d 317	. . . . . . . 8 |- ( s = 0 -> ( ( s < x -> x e/ S ) <-> ( 0 < x -> x e/ S ) ) )
5	4	ralbidv 2896	. . . . . . 7 |- ( s = 0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) <-> A. x e. NN0 ( 0 < x -> x e/ S ) ) )
6	5	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( S = (/) /\ s = 0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) <-> A. x e. NN0 ( 0 < x -> x e/ S ) ) )
7		nnel 2802	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e/ S <-> x e. S )
8		n0i 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S -> -. S = (/) )
9	7, 8	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e/ S -> -. S = (/) )
10	9	con4i 130	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> x e/ S )
11	10	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( S = (/) -> ( 0 < x -> x e/ S ) )
12	11	ralrimivw 2872	. . . . . 6 |- ( S = (/) -> A. x e. NN0 ( 0 < x -> x e/ S ) )
13	2, 6, 12	rspcedvd 3215	. . . . 5 |- ( S = (/) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) )
14	13	a1d 25	. . . 4 |- ( S = (/) -> ( S e. Fin -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
15	14	a1d 25	. . 3 |- ( S = (/) -> ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) )
16		ltso 9682	. . . . . . 7 |- < Or RR
17		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( S C_ NN0 -> S C_ NN0 )
18		nn0ssre 10820	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ RR
19	17, 18	syl6ss 3511	. . . . . . . 8 |- ( S C_ NN0 -> S C_ RR )
20	19	3anim3i 1184	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ RR ) )
21		fisup2g 7944	. . . . . . 7 |- ( ( < Or RR /\ ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ RR ) ) -> E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) )
22	16, 20, 21	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) )
23		simp3 998	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> S C_ NN0 )
24		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( s < y <-> s < x ) )
25	24	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = x -> ( -. s < y <-> -. s < x ) )
26	25	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. S /\ A. y e. S -. s < y ) -> -. s < x )
27		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. s < x -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> -. s < x ) )
28	27	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. s < x -> ( x e. NN0 -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> -. s < x ) ) )
29	26, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. S /\ A. y e. S -. s < y ) -> ( x e. NN0 -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> -. s < x ) ) )
30	29	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. S -. s < y -> ( x e. S -> ( x e. NN0 -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> -. s < x ) ) ) )
31	30	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. S -. s < y -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> ( x e. NN0 -> ( x e. S -> -. s < x ) ) ) )
32	31	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( x e. S -> -. s < x ) )
33	7, 32	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( -. x e/ S -> -. s < x ) )
34	33	con4d 105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( s < x -> x e/ S ) )
35	34	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) )
36	35	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. S -. s < y -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
38	37	com12 31	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> ( ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
39	38	reximdva 2932	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> ( E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> E. s e. S A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
40		ssrexv 3561	. . . . . . 7 |- ( S C_ NN0 -> ( E. s e. S A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
41	23, 39, 40	sylsyld 56	. . . . . 6 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> ( E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
42	22, 41	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) )
43	42	3exp 1195	. . . 4 |- ( S e. Fin -> ( S =/= (/) -> ( S C_ NN0 -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) )
44	43	com3l 81	. . 3 |- ( S =/= (/) -> ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) )
45	15, 44	pm2.61ine 2770	. 2 |- ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
46		fzfi 12085	. . . . 5 |- ( 0 ... s ) e. Fin
47		elfz2nn0 11795	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 ... s ) <-> ( y e. NN0 /\ s e. NN0 /\ y <_ s ) )
48	47	notbii 296	. . . . . . . . . 10 |- ( -. y e. ( 0 ... s ) <-> -. ( y e. NN0 /\ s e. NN0 /\ y <_ s ) )
49		3ianor 990	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( y e. NN0 /\ s e. NN0 /\ y <_ s ) <-> ( -. y e. NN0 \/ -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) )
50		3orass 976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. y e. NN0 \/ -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) <-> ( -. y e. NN0 \/ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) )
51	48, 49, 50	3bitri 271	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. ( 0 ... s ) <-> ( -. y e. NN0 \/ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) )
52		ssel 3493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ NN0 -> ( y e. S -> y e. NN0 ) )
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( y e. S -> y e. NN0 ) )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( y e. S -> y e. NN0 ) )
55	54	con3rr3 136	. . . . . . . . . 10 |- ( -. y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) )
56		notnot 291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 <-> -. -. y e. NN0 )
57		pm2.24 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN0 -> ( -. s e. NN0 -> -. y e. S ) )
58	57	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. s e. NN0 -> -. y e. S ) )
59	58	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( -. s e. NN0 -> -. y e. S ) )
60	59	com12 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. s e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) )
61	60	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. s e. NN0 -> ( y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) )
62		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( s < x <-> s < y ) )
63		neleq1 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( x e/ S <-> y e/ S ) )
64	62, 63	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( ( s < x -> x e/ S ) <-> ( s < y -> y e/ S ) ) )
65	64	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( s < y -> y e/ S ) )
66		nn0re 10825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( s e. NN0 -> s e. RR )
67		nn0re 10825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. NN0 -> y e. RR )
68		ltnle 9681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( s e. RR /\ y e. RR ) -> ( s < y <-> -. y <_ s ) )
69	66, 67, 68	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( s < y <-> -. y <_ s ) )
70		df-nel 2655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e/ S <-> -. y e. S )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( y e/ S <-> -. y e. S ) )
72	69, 71	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) <-> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) )
73	72	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) )
74	73	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. NN0 -> ( y e. NN0 -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
75	74	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( y e. NN0 -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
76	75	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. NN0 -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
77	76	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
78	65, 77	mpid 41	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) )
79	78	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
80	79	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> ( y e. NN0 -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
81	80	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( y e. NN0 -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) )
82	81	com13 80	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. y <_ s -> ( y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) )
83	61, 82	jaoi 379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) )
84	56, 83	syl5bir 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) -> ( -. -. y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) )
85	84	impcom 430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. -. y e. NN0 /\ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) )
86	55, 85	jaoi3 969	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. y e. NN0 \/ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) )
87	51, 86	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( -. y e. ( 0 ... s ) -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) )
88	87	com12 31	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( -. y e. ( 0 ... s ) -> -. y e. S ) )
89	88	con4d 105	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( y e. S -> y e. ( 0 ... s ) ) )
90	89	ssrdv 3505	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> S C_ ( 0 ... s ) )
91		ssfi 7759	. . . . 5 |- ( ( ( 0 ... s ) e. Fin /\ S C_ ( 0 ... s ) ) -> S e. Fin )
92	46, 90, 91	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> S e. Fin )
93	92	ex 434	. . 3 |- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> S e. Fin ) )
94	93	rexlimdva 2949	. 2 |- ( S C_ NN0 -> ( E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> S e. Fin ) )
95	45, 94	impbid 191	1 |- ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin <-> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 972   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   e/ wnel 2653   A.wral 2807   E.wrex 2808   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   Or wor 4808  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   RRcr 9508   0cc0 9509   < clt 9645   <_ cle 9646   NN0cn0 10816   ...cfz 11697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698

This theorem is referenced by:  rabssnn0fi  12098