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Theorem ssnn0fi 12204
Description: A subset of the nonnegative integers is finite if and only if there is a nonnegative integer so that all integers greater than this integer are not contained in the subset. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
ssnn0fi  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
Distinct variable group:    S, s, x

Proof of Theorem ssnn0fi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10891 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  ->  0  e. 
NN0 )
3 breq1 4408 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  0  ->  (
s  <  x  <->  0  <  x ) )
43imbi1d 319 . . . . . . 7  |-  ( s  =  0  ->  (
( s  <  x  ->  x  e/  S )  <-> 
( 0  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
54ralbidv 2829 . . . . . 6  |-  ( s  =  0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  <->  A. x  e.  NN0  ( 0  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
65adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( S  =  (/)  /\  s  =  0 )  -> 
( A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S )  <->  A. x  e.  NN0  ( 0  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
7 nnel 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e/  S  <->  x  e.  S )
8 n0i 3738 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  -.  S  =  (/) )
97, 8sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e/  S  ->  -.  S  =  (/) )
109con4i 134 . . . . . . 7  |-  ( S  =  (/)  ->  x  e/  S )
1110a1d 26 . . . . . 6  |-  ( S  =  (/)  ->  ( 0  <  x  ->  x  e/  S ) )
1211ralrimivw 2805 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  ->  A. x  e.  NN0  ( 0  < 
x  ->  x  e/  S ) )
132, 6, 12rspcedvd 3157 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
14132a1d 27 . . 3  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) ) )
15 ltso 9719 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
16 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  NN0  ->  S  C_  NN0 )
17 nn0ssre 10880 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR
1816, 17syl6ss 3446 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  NN0  ->  S  C_  RR )
19183anim3i 1197 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  RR ) )
20 fisup2g 7989 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  RR ) )  ->  E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) ) )
2115, 19, 20sylancr 670 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) ) )
22 simp3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  S  C_  NN0 )
23 breq2 4409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
s  <  y  <->  s  <  x ) )
2423notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  s  <  y  <->  -.  s  <  x ) )
2524rspcva 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. y  e.  S  -.  s  <  y )  ->  -.  s  <  x )
26252a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. y  e.  S  -.  s  <  y )  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) ) )
2726expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
x  e.  S  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) ) ) )
2827com24 90 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
)  ->  ( x  e.  NN0  ->  ( x  e.  S  ->  -.  s  <  x ) ) ) )
2928imp31 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  S  ->  -.  s  <  x
) )
307, 29syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( -.  x  e/  S  ->  -.  s  <  x ) )
3130con4d 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( s  <  x  ->  x  e/  S ) )
3231ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  ( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
) )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
3332ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
)  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3433adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3534com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_ 
NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  (
( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3635reximdva 2864 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  E. s  e.  S  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
37 ssrexv 3496 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( E. s  e.  S  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3822, 36, 37sylsyld 58 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
3921, 38mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
40393exp 1208 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( S  =/=  (/)  ->  ( S  C_ 
NN0  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) ) )
4140com3l 84 . . 3  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( S  C_ 
NN0  ->  ( S  e. 
Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) ) )
4214, 41pm2.61ine 2709 . 2  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
43 fzfi 12192 . . . . 5  |-  ( 0 ... s )  e. 
Fin
44 elfz2nn0 11892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... s )  <->  ( y  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  y  <_  s ) )
4544notbii 298 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  <->  -.  (
y  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  y  <_  s ) )
46 3ianor 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( y  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  y  <_  s )  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) )
47 3orass 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  y  e.  NN0  \/ 
-.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) ) )
4845, 46, 473bitri 275 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
) ) )
49 ssel 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 ) )
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  NN0 )
)
5150adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 ) )
5251con3rr3 142 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
53 notnot 293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  <->  -.  -.  y  e.  NN0 )
54 pm2.24 113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S ) )
5554adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S
) )
5655adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S ) )
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  s  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
5857a1d 26 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  s  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
59 breq2 4409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
s  <  x  <->  s  <  y ) )
60 neleq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e/  S  <->  y  e/  S ) )
6159, 60imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  (
( s  <  x  ->  x  e/  S )  <-> 
( s  <  y  ->  y  e/  S ) ) )
6261rspcva 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( s  < 
y  ->  y  e/  S ) )
63 nn0re 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( s  e.  NN0  ->  s  e.  RR )
64 nn0re 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
65 ltnle 9718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( s  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( s  <  y  <->  -.  y  <_  s )
)
6663, 64, 65syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( s  <  y  <->  -.  y  <_  s )
)
67 df-nel 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e/  S  <->  -.  y  e.  S )
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  e/  S  <->  -.  y  e.  S ) )
6966, 68imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( s  < 
y  ->  y  e/  S )  <->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S )
) )
7069biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( s  < 
y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S
) ) )
7170ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  -> 
y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_ 
s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7271adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7372com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7473adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7562, 74mpid 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S
) ) )
7675ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  (
( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( -.  y  <_ 
s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7776com13 83 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7877imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) )
7978com13 83 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  <_  s  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
8058, 79jaoi 381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( (
( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S ) ) )
8153, 80syl5bir 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  ->  ( -.  -.  y  e.  NN0  ->  ( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
8281impcom 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  -.  y  e. 
NN0  /\  ( -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) )  ->  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8352, 82jaoi3 982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e. 
NN0  \/  -.  y  <_  s ) )  -> 
( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8448, 83sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  -> 
( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8584com12 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  y  e.  S ) )
8685con4d 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  ( 0 ... s
) ) )
8786ssrdv 3440 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  S  C_  (
0 ... s ) )
88 ssfi 7797 . . . . 5  |-  ( ( ( 0 ... s
)  e.  Fin  /\  S  C_  ( 0 ... s ) )  ->  S  e.  Fin )
8943, 87, 88sylancr 670 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  S  e.  Fin )
9089ex 436 . . 3  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  S  e.  Fin ) )
9190rexlimdva 2881 . 2  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S )  ->  S  e.  Fin ) )
9242, 91impbid 194 1  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 985    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624    e/ wnel 2625   A.wral 2739   E.wrex 2740    C_ wss 3406   (/)c0 3733   class class class wbr 4405    Or wor 4757  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   RRcr 9543   0cc0 9544    < clt 9680    <_ cle 9681   NN0cn0 10876   ...cfz 11791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792
This theorem is referenced by:  rabssnn0fi  12205
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