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Theorem ssnn0fi 30775
Description: A subset of the nonnegative integers is finite if and only if there is a nonnegative integer so that all integers greater than this integer are not contained in the subset. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
ssnn0fi  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
Distinct variable group:    S, s, x

Proof of Theorem ssnn0fi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnel 2735 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e/  S  <->  x  e.  S )
2 n0i 3663 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  ->  -.  S  =  (/) )
31, 2sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e/  S  ->  -.  S  =  (/) )
43con4i 130 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  x  e/  S )
54a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( S  =  (/)  ->  ( 0  <  x  ->  x  e/  S ) )
65ralrimivw 2821 . . . . . 6  |-  ( S  =  (/)  ->  A. x  e.  NN0  ( 0  < 
x  ->  x  e/  S ) )
7 0nn0 10615 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( S  =  (/)  ->  0  e. 
NN0 )
9 breq1 4316 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  0  ->  (
s  <  x  <->  0  <  x ) )
109imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  0  ->  (
( s  <  x  ->  x  e/  S )  <-> 
( 0  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
1110ralbidv 2756 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  <->  A. x  e.  NN0  ( 0  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( S  =  (/)  /\  s  =  0 )  -> 
( A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S )  <->  A. x  e.  NN0  ( 0  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
138, 12rspcedv 3098 . . . . . 6  |-  ( S  =  (/)  ->  ( A. x  e.  NN0  ( 0  <  x  ->  x  e/  S )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
146, 13mpd 15 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
1514a1d 25 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S  e.  Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
1615a1d 25 . . 3  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) ) )
17 ltso 9476 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
18 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  NN0  ->  S  C_  NN0 )
19 nn0ssre 10604 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR
2018, 19syl6ss 3389 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  NN0  ->  S  C_  RR )
21203anim3i 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  RR ) )
22 fisup2g 7737 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  RR ) )  ->  E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) ) )
2317, 21, 22sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) ) )
24 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  S  C_  NN0 )
25 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
s  <  y  <->  s  <  x ) )
2625notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  s  <  y  <->  -.  s  <  x ) )
2726rspcva 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. y  e.  S  -.  s  <  y )  ->  -.  s  <  x )
28 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  s  <  x  -> 
( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) )
2928a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  s  <  x  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) ) )
3027, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. y  e.  S  -.  s  <  y )  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) ) )
3130expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
x  e.  S  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) ) ) )
3231com24 87 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
)  ->  ( x  e.  NN0  ->  ( x  e.  S  ->  -.  s  <  x ) ) ) )
3332imp31 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  S  ->  -.  s  <  x
) )
341, 33syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( -.  x  e/  S  ->  -.  s  <  x ) )
3534con4d 105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( s  <  x  ->  x  e/  S ) )
3635ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  ( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
) )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
3736ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
)  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3938com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_ 
NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  (
( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
4039reximdva 2849 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  E. s  e.  S  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
41 ssrexv 3438 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( E. s  e.  S  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
4224, 40, 41sylsyld 56 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
4323, 42mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
44433exp 1186 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( S  =/=  (/)  ->  ( S  C_ 
NN0  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) ) )
4544com3l 81 . . 3  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( S  C_ 
NN0  ->  ( S  e. 
Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) ) )
4616, 45pm2.61ine 2711 . 2  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
47 fzfi 11815 . . . . 5  |-  ( 0 ... s )  e. 
Fin
48 elfz2nn0 11501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 ... s )  <->  ( y  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  y  <_  s ) )
4948notbii 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  <->  -.  (
y  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  y  <_  s ) )
50 3ianor 982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( y  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  y  <_  s )  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) )
51 3orass 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  y  e.  NN0  \/ 
-.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) ) )
5249, 50, 513bitri 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
) ) )
53 ssel 3371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  NN0 )
)
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 ) )
5655con3rr3 136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
57 notnot 291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN0  <->  -.  -.  y  e.  NN0 )
58 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S
) )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S ) )
6160com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  s  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
6261a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  s  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
63 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
s  <  x  <->  s  <  y ) )
64 neleq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e/  S  <->  y  e/  S ) )
6563, 64imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
( s  <  x  ->  x  e/  S )  <-> 
( s  <  y  ->  y  e/  S ) ) )
6665rspcva 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( s  < 
y  ->  y  e/  S ) )
67 nn0re 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  e.  NN0  ->  s  e.  RR )
68 nn0re 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
69 ltnle 9475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( s  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( s  <  y  <->  -.  y  <_  s )
)
7067, 68, 69syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( s  <  y  <->  -.  y  <_  s )
)
71 df-nel 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e/  S  <->  -.  y  e.  S )
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  e/  S  <->  -.  y  e.  S ) )
7370, 72imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( s  < 
y  ->  y  e/  S )  <->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S )
) )
7473biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( s  < 
y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S
) ) )
7574ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  -> 
y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_ 
s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7966, 78mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S
) ) )
8079ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  (
( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( -.  y  <_ 
s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
8180com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
8281imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) )
8382com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  y  <_  s  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
8462, 83jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( (
( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S ) ) )
8557, 84syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  ->  ( -.  -.  y  e.  NN0  ->  ( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
8685impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  -.  y  e. 
NN0  /\  ( -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) )  ->  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8756, 86jaoi3 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e. 
NN0  \/  -.  y  <_  s ) )  -> 
( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8852, 87sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  -> 
( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8988com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  y  e.  S ) )
9089con4d 105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  ( 0 ... s
) ) )
9190imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( 0 ... s ) )
9291ralrimiva 2820 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  A. y  e.  S  y  e.  ( 0 ... s ) )
93 dfss3 3367 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( 0 ... s )  <->  A. y  e.  S  y  e.  ( 0 ... s
) )
9492, 93sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  S  C_  (
0 ... s ) )
95 ssfi 7554 . . . . 5  |-  ( ( ( 0 ... s
)  e.  Fin  /\  S  C_  ( 0 ... s ) )  ->  S  e.  Fin )
9647, 94, 95sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  S  e.  Fin )
9796ex 434 . . 3  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  S  e.  Fin ) )
9897rexlimdva 2862 . 2  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S )  ->  S  e.  Fin ) )
9946, 98impbid 191 1  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    e/ wnel 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   (/)c0 3658   class class class wbr 4313    Or wor 4661  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   RRcr 9302   0cc0 9303    < clt 9439    <_ cle 9440   NN0cn0 10600   ...cfz 11458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459
This theorem is referenced by:  rabssnn0fi  30776
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