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Theorem ssnn0fi 12235
Description: A subset of the nonnegative integers is finite if and only if there is a nonnegative integer so that all integers greater than this integer are not contained in the subset. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
ssnn0fi  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
Distinct variable group:    S, s, x

Proof of Theorem ssnn0fi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10908 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  ->  0  e. 
NN0 )
3 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  0  ->  (
s  <  x  <->  0  <  x ) )
43imbi1d 324 . . . . . . 7  |-  ( s  =  0  ->  (
( s  <  x  ->  x  e/  S )  <-> 
( 0  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
54ralbidv 2829 . . . . . 6  |-  ( s  =  0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  <->  A. x  e.  NN0  ( 0  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
65adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( S  =  (/)  /\  s  =  0 )  -> 
( A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S )  <->  A. x  e.  NN0  ( 0  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
7 nnel 2752 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e/  S  <->  x  e.  S )
8 n0i 3727 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  -.  S  =  (/) )
97, 8sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e/  S  ->  -.  S  =  (/) )
109con4i 135 . . . . . . 7  |-  ( S  =  (/)  ->  x  e/  S )
1110a1d 25 . . . . . 6  |-  ( S  =  (/)  ->  ( 0  <  x  ->  x  e/  S ) )
1211ralrimivw 2810 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  ->  A. x  e.  NN0  ( 0  < 
x  ->  x  e/  S ) )
132, 6, 12rspcedvd 3143 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
14132a1d 26 . . 3  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) ) )
15 ltso 9732 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
16 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  NN0  ->  S  C_  NN0 )
17 nn0ssre 10897 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR
1816, 17syl6ss 3430 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  NN0  ->  S  C_  RR )
19183anim3i 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  RR ) )
20 fisup2g 8002 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  RR ) )  ->  E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) ) )
2115, 19, 20sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) ) )
22 simp3 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  S  C_  NN0 )
23 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
s  <  y  <->  s  <  x ) )
2423notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  s  <  y  <->  -.  s  <  x ) )
2524rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. y  e.  S  -.  s  <  y )  ->  -.  s  <  x )
26252a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. y  e.  S  -.  s  <  y )  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) ) )
2726expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
x  e.  S  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) ) ) )
2827com24 89 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
)  ->  ( x  e.  NN0  ->  ( x  e.  S  ->  -.  s  <  x ) ) ) )
2928imp31 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  S  ->  -.  s  <  x
) )
307, 29syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( -.  x  e/  S  ->  -.  s  <  x ) )
3130con4d 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( s  <  x  ->  x  e/  S ) )
3231ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  ( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
) )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
3332ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
)  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3433adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3534com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_ 
NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  (
( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3635reximdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  E. s  e.  S  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
37 ssrexv 3480 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( E. s  e.  S  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3822, 36, 37sylsyld 57 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
3921, 38mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
40393exp 1230 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( S  =/=  (/)  ->  ( S  C_ 
NN0  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) ) )
4140com3l 83 . . 3  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( S  C_ 
NN0  ->  ( S  e. 
Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) ) )
4214, 41pm2.61ine 2726 . 2  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
43 fzfi 12223 . . . . 5  |-  ( 0 ... s )  e. 
Fin
44 elfz2nn0 11911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... s )  <->  ( y  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  y  <_  s ) )
4544notbii 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  <->  -.  (
y  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  y  <_  s ) )
46 3ianor 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( y  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  y  <_  s )  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) )
47 3orass 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  y  e.  NN0  \/ 
-.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) ) )
4845, 46, 473bitri 279 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
) ) )
49 ssel 3412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 ) )
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  NN0 )
)
5150adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 ) )
5251con3rr3 143 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
53 notnot 297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  <->  -.  -.  y  e.  NN0 )
54 pm2.24 112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S ) )
5554adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S
) )
5655adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S ) )
5756com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  s  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
5857a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  s  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
59 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
s  <  x  <->  s  <  y ) )
60 neleq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e/  S  <->  y  e/  S ) )
6159, 60imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  (
( s  <  x  ->  x  e/  S )  <-> 
( s  <  y  ->  y  e/  S ) ) )
6261rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( s  < 
y  ->  y  e/  S ) )
63 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( s  e.  NN0  ->  s  e.  RR )
64 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
65 ltnle 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( s  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( s  <  y  <->  -.  y  <_  s )
)
6663, 64, 65syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( s  <  y  <->  -.  y  <_  s )
)
67 df-nel 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e/  S  <->  -.  y  e.  S )
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  e/  S  <->  -.  y  e.  S ) )
6966, 68imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( s  < 
y  ->  y  e/  S )  <->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S )
) )
7069biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( s  < 
y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S
) ) )
7170ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  -> 
y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_ 
s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7372com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7562, 74mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S
) ) )
7675ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  (
( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( -.  y  <_ 
s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7776com13 82 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7877imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) )
7978com13 82 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  <_  s  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
8058, 79jaoi 386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( (
( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S ) ) )
8153, 80syl5bir 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  ->  ( -.  -.  y  e.  NN0  ->  ( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
8281impcom 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  -.  y  e. 
NN0  /\  ( -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) )  ->  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8352, 82jaoi3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e. 
NN0  \/  -.  y  <_  s ) )  -> 
( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8448, 83sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  -> 
( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8584com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  y  e.  S ) )
8685con4d 108 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  ( 0 ... s
) ) )
8786ssrdv 3424 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  S  C_  (
0 ... s ) )
88 ssfi 7810 . . . . 5  |-  ( ( ( 0 ... s
)  e.  Fin  /\  S  C_  ( 0 ... s ) )  ->  S  e.  Fin )
8943, 87, 88sylancr 676 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  S  e.  Fin )
9089ex 441 . . 3  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  S  e.  Fin ) )
9190rexlimdva 2871 . 2  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S )  ->  S  e.  Fin ) )
9242, 91impbid 195 1  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    e/ wnel 2642   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    Or wor 4759  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557    < clt 9693    <_ cle 9694   NN0cn0 10893   ...cfz 11810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811
This theorem is referenced by:  rabssnn0fi  12236
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