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Theorem ssnn0fi 12097
Description: A subset of the nonnegative integers is finite if and only if there is a nonnegative integer so that all integers greater than this integer are not contained in the subset. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
ssnn0fi  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
Distinct variable group:    S, s, x

Proof of Theorem ssnn0fi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10831 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( S  =  (/)  ->  0  e. 
NN0 )
3 breq1 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  0  ->  (
s  <  x  <->  0  <  x ) )
43imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  0  ->  (
( s  <  x  ->  x  e/  S )  <-> 
( 0  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
54ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( s  =  0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  <->  A. x  e.  NN0  ( 0  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
65adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( S  =  (/)  /\  s  =  0 )  -> 
( A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S )  <->  A. x  e.  NN0  ( 0  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
7 nnel 2802 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e/  S  <->  x  e.  S )
8 n0i 3798 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  ->  -.  S  =  (/) )
97, 8sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e/  S  ->  -.  S  =  (/) )
109con4i 130 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  x  e/  S )
1110a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( S  =  (/)  ->  ( 0  <  x  ->  x  e/  S ) )
1211ralrimivw 2872 . . . . . 6  |-  ( S  =  (/)  ->  A. x  e.  NN0  ( 0  < 
x  ->  x  e/  S ) )
132, 6, 12rspcedvd 3215 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
1413a1d 25 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S  e.  Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
1514a1d 25 . . 3  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) ) )
16 ltso 9682 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
17 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  NN0  ->  S  C_  NN0 )
18 nn0ssre 10820 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR
1917, 18syl6ss 3511 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  NN0  ->  S  C_  RR )
20193anim3i 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  RR ) )
21 fisup2g 7944 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  RR ) )  ->  E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) ) )
2216, 20, 21sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) ) )
23 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  S  C_  NN0 )
24 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
s  <  y  <->  s  <  x ) )
2524notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  s  <  y  <->  -.  s  <  x ) )
2625rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. y  e.  S  -.  s  <  y )  ->  -.  s  <  x )
27 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  s  <  x  -> 
( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) )
2827a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  s  <  x  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) ) )
2926, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. y  e.  S  -.  s  <  y )  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) ) )
3029expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
x  e.  S  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  -.  s  <  x ) ) ) )
3130com24 87 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
)  ->  ( x  e.  NN0  ->  ( x  e.  S  ->  -.  s  <  x ) ) ) )
3231imp31 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  S  ->  -.  s  <  x
) )
337, 32syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( -.  x  e/  S  ->  -.  s  <  x ) )
3433con4d 105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( s  <  x  ->  x  e/  S ) )
3534ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  ( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
) )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
3635ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  ->  (
( ( S  e. 
Fin  /\  S  =/=  (/) 
/\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S
)  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3837com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_ 
NN0 )  /\  s  e.  S )  ->  (
( A. y  e.  S  -.  s  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
3938reximdva 2932 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  E. s  e.  S  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
40 ssrexv 3561 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( E. s  e.  S  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
4123, 39, 40sylsyld 56 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  ( E. s  e.  S  ( A. y  e.  S  -.  s  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  s  ->  E. z  e.  S  y  <  z ) )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) )
4222, 41mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/)  /\  S  C_  NN0 )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )
43423exp 1195 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( S  =/=  (/)  ->  ( S  C_ 
NN0  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) ) )
4443com3l 81 . . 3  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( S  C_ 
NN0  ->  ( S  e. 
Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) ) ) )
4515, 44pm2.61ine 2770 . 2  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
46 fzfi 12085 . . . . 5  |-  ( 0 ... s )  e. 
Fin
47 elfz2nn0 11795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... s )  <->  ( y  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  y  <_  s ) )
4847notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  <->  -.  (
y  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  y  <_  s ) )
49 3ianor 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( y  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  y  <_  s )  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) )
50 3orass 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  y  e.  NN0  \/ 
-.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) ) )
5148, 49, 503bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  <->  ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
) ) )
52 ssel 3493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  NN0 )
)
5453adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 ) )
5554con3rr3 136 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
56 notnot 291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  <->  -.  -.  y  e.  NN0 )
57 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S ) )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S
) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( -.  s  e.  NN0  ->  -.  y  e.  S ) )
6059com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  s  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
6160a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  s  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
62 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
s  <  x  <->  s  <  y ) )
63 neleq1 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e/  S  <->  y  e/  S ) )
6462, 63imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  (
( s  <  x  ->  x  e/  S )  <-> 
( s  <  y  ->  y  e/  S ) ) )
6564rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( s  < 
y  ->  y  e/  S ) )
66 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( s  e.  NN0  ->  s  e.  RR )
67 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
68 ltnle 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( s  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( s  <  y  <->  -.  y  <_  s )
)
6966, 67, 68syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( s  <  y  <->  -.  y  <_  s )
)
70 df-nel 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e/  S  <->  -.  y  e.  S )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  e/  S  <->  -.  y  e.  S ) )
7269, 71imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( s  < 
y  ->  y  e/  S )  <->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S )
) )
7372biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( s  < 
y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S
) ) )
7473ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  -> 
y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_ 
s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7675com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  y  ->  y  e/  S )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
7865, 77mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S
) ) )
7978ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  (
( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( -.  y  <_ 
s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
8079com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) ) )
8180imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( -.  y  <_  s  ->  -.  y  e.  S ) ) )
8281com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  <_  s  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( S  C_  NN0 
/\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
8361, 82jaoi 379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( (
( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S ) ) )
8456, 83syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  s  e.  NN0  \/ 
-.  y  <_  s
)  ->  ( -.  -.  y  e.  NN0  ->  ( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) ) )
8584impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  -.  y  e. 
NN0  /\  ( -.  s  e.  NN0  \/  -.  y  <_  s ) )  ->  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8655, 85jaoi3 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  y  e.  NN0  \/  ( -.  s  e. 
NN0  \/  -.  y  <_  s ) )  -> 
( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8751, 86sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  e.  ( 0 ... s )  -> 
( ( ( S 
C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  -.  y  e.  S
) )
8887com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  y  e.  S ) )
8988con4d 105 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  ( 0 ... s
) ) )
9089ssrdv 3505 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  S  C_  (
0 ... s ) )
91 ssfi 7759 . . . . 5  |-  ( ( ( 0 ... s
)  e.  Fin  /\  S  C_  ( 0 ... s ) )  ->  S  e.  Fin )
9246, 90, 91sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  x  e/  S ) )  ->  S  e.  Fin )
9392ex 434 . . 3  |-  ( ( S  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  x  e/  S )  ->  S  e.  Fin ) )
9493rexlimdva 2949 . 2  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S )  ->  S  e.  Fin ) )
9545, 94impbid 191 1  |-  ( S 
C_  NN0  ->  ( S  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  x  e/  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    e/ wnel 2653   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    Or wor 4808  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   RRcr 9508   0cc0 9509    < clt 9645    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   ...cfz 11697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by:  rabssnn0fi  12098
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