MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnlim Structured version   Unicode version

Theorem ssnlim 6691
Description: An ordinal subclass of non-limit ordinals is a class of natural numbers. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 2-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ssnlim  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  A  C_  om )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem ssnlim
StepHypRef Expression
1 limom 6688 . . . 4  |-  Lim  om
2 ssel 3483 . . . . 5  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  ( om  e.  A  ->  om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x } ) )
3 limeq 4879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  om  ->  ( Lim  x  <->  Lim  om ) )
43notbid 292 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( -.  Lim  x  <->  -.  Lim  om ) )
54elrab 3254 . . . . . 6  |-  ( om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  <->  ( om  e.  On  /\  -.  Lim  om ) )
65simprbi 462 . . . . 5  |-  ( om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  -.  Lim  om )
72, 6syl6 33 . . . 4  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  ( om  e.  A  ->  -.  Lim  om ) )
81, 7mt2i 118 . . 3  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  -.  om  e.  A )
98adantl 464 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  -.  om  e.  A )
10 ordom 6682 . . . 4  |-  Ord  om
11 ordtri1 4900 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  om )  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
1210, 11mpan2 669 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
1312adantr 463 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
149, 13mpbird 232 1  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  A  C_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {crab 2808    C_ wss 3461   Ord word 4866   Oncon0 4867   Lim wlim 4868   omcom 6673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-om 6674
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator