MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnlim Structured version   Unicode version

Theorem ssnlim 6603
Description: An ordinal subclass of non-limit ordinals is a class of natural numbers. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 2-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ssnlim  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  A  C_  om )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem ssnlim
StepHypRef Expression
1 limom 6600 . . . 4  |-  Lim  om
2 ssel 3457 . . . . 5  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  ( om  e.  A  ->  om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x } ) )
3 limeq 4838 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  om  ->  ( Lim  x  <->  Lim  om ) )
43notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( -.  Lim  x  <->  -.  Lim  om ) )
54elrab 3222 . . . . . 6  |-  ( om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  <->  ( om  e.  On  /\  -.  Lim  om ) )
65simprbi 464 . . . . 5  |-  ( om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  -.  Lim  om )
72, 6syl6 33 . . . 4  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  ( om  e.  A  ->  -.  Lim  om ) )
81, 7mt2i 118 . . 3  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  -.  om  e.  A )
98adantl 466 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  -.  om  e.  A )
10 ordom 6594 . . . 4  |-  Ord  om
11 ordtri1 4859 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  om )  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
1210, 11mpan2 671 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
1312adantr 465 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
149, 13mpbird 232 1  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  A  C_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2802    C_ wss 3435   Ord word 4825   Oncon0 4826   Lim wlim 4827   omcom 6585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-om 6586
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator