Theorem ssnei 17129

Description: A set is included in its neighborhoods. Proposition Viii of [BourbakiTop1] p. I.3 . (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssnei	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ N )

Proof of Theorem ssnei

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 17127	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )
2		sstr 3316	. . 3 |- ( ( S C_ g /\ g C_ N ) -> S C_ N )
3	2	rexlimivw 2786	. 2 |- ( E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) -> S C_ N )
4	1, 3	syl 16	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   e. wcel 1721   E.wrex 2667   C_ wss 3280   ` cfv 5413   Topctop 16913   neicnei 17116

This theorem is referenced by:  elnei  17130  0nnei  17131  opnneissb  17133  opnssneib  17134  tpnei  17140  cvmlift2lem1  24942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-top 16918  df-nei 17117