Theorem ssmd2 27524

Description: Ordering implies the modular pair property. Remark in [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ssmd2	|- ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ A C_ B ) -> B MH A )

Proof of Theorem ssmd2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x vH B ) i^i A ) C_ A
2		chub2 26720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> A C_ ( x vH A ) )
3	1, 2	syl5ss 3452	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( x vH B ) i^i A ) C_ ( x vH A ) )
4	3	adantrl 714	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CH /\ ( A C_ B /\ x e. CH ) ) -> ( ( x vH B ) i^i A ) C_ ( x vH A ) )
5		simpl 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ B /\ x e. CH ) -> A C_ B )
6		sseqin2 3657	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
7	5, 6	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ B /\ x e. CH ) -> ( B i^i A ) = A )
8	7	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CH /\ ( A C_ B /\ x e. CH ) ) -> ( B i^i A ) = A )
9	8	oveq2d 6250	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CH /\ ( A C_ B /\ x e. CH ) ) -> ( x vH ( B i^i A ) ) = ( x vH A ) )
10	4, 9	sseqtr4d 3478	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CH /\ ( A C_ B /\ x e. CH ) ) -> ( ( x vH B ) i^i A ) C_ ( x vH ( B i^i A ) ) )
11	10	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ ( A C_ B /\ x e. CH ) ) -> ( x C_ A -> ( ( x vH B ) i^i A ) C_ ( x vH ( B i^i A ) ) ) )
12	11	exp32 603	. . . . 5 |- ( A e. CH -> ( A C_ B -> ( x e. CH -> ( x C_ A -> ( ( x vH B ) i^i A ) C_ ( x vH ( B i^i A ) ) ) ) ) )
13	12	ralrimdv 2819	. . . 4 |- ( A e. CH -> ( A C_ B -> A. x e. CH ( x C_ A -> ( ( x vH B ) i^i A ) C_ ( x vH ( B i^i A ) ) ) ) )
14	13	adantr 463	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A C_ B -> A. x e. CH ( x C_ A -> ( ( x vH B ) i^i A ) C_ ( x vH ( B i^i A ) ) ) ) )
15		mdbr2 27508	. . . 4 |- ( ( B e. CH /\ A e. CH ) -> ( B MH A <-> A. x e. CH ( x C_ A -> ( ( x vH B ) i^i A ) C_ ( x vH ( B i^i A ) ) ) ) )
16	15	ancoms 451	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( B MH A <-> A. x e. CH ( x C_ A -> ( ( x vH B ) i^i A ) C_ ( x vH ( B i^i A ) ) ) ) )
17	14, 16	sylibrd 234	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A C_ B -> B MH A ) )
18	17	3impia 1194	1 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ A C_ B ) -> B MH A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   i^i cin 3412   C_ wss 3413   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   CHcch 26140   vH chj 26144   MH cmd 26177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cc 8767  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522  ax-hilex 26210  ax-hfvadd 26211  ax-hvcom 26212  ax-hvass 26213  ax-hv0cl 26214  ax-hvaddid 26215  ax-hfvmul 26216  ax-hvmulid 26217  ax-hvmulass 26218  ax-hvdistr1 26219  ax-hvdistr2 26220  ax-hvmul0 26221  ax-hfi 26290  ax-his1 26293  ax-his2 26294  ax-his3 26295  ax-his4 26296  ax-hcompl 26413

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-omul 7092  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-acn 8275  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-lm 19915  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cfil 21878  df-cau 21879  df-cmet 21880  df-grpo 25487  df-gid 25488  df-ginv 25489  df-gdiv 25490  df-ablo 25578  df-subgo 25598  df-vc 25733  df-nv 25779  df-va 25782  df-ba 25783  df-sm 25784  df-0v 25785  df-vs 25786  df-nmcv 25787  df-ims 25788  df-dip 25905  df-ssp 25929  df-ph 26022  df-cbn 26073  df-hnorm 26179  df-hba 26180  df-hvsub 26182  df-hlim 26183  df-hcau 26184  df-sh 26418  df-ch 26433  df-oc 26464  df-ch0 26465  df-shs 26520  df-chj 26522  df-md 27492

This theorem is referenced by:  ssdmd1  27525  atmd2  27612  mdsymi  27623