HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ssjo Structured version   Unicode version

Theorem ssjo 26779
Description: The lattice join of a subset with its orthocomplement is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ssjo  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ~H )

Proof of Theorem ssjo
StepHypRef Expression
1 ocss 26617 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
2 sshjval 26682 . . 3  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  ( _|_ `  A )  C_  ~H )  ->  ( A  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
31, 2mpdan 666 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
4 ssun1 3606 . . . . . . . 8  |-  A  C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )
51ancli 549 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A 
C_  ~H  /\  ( _|_ `  A )  C_  ~H ) )
6 unss 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  ( _|_ `  A )  C_  ~H )  <->  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  C_  ~H )
75, 6sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A  u.  ( _|_ `  A
) )  C_  ~H )
8 occon 26619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  C_  ~H )  ->  ( A 
C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
97, 8mpdan 666 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A 
C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
104, 9mpi 20 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  A ) )
11 ssun2 3607 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  A )  C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )
12 occon 26619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  C_  ~H  /\  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  C_  ~H )  ->  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) ) )
131, 7, 12syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) ) )
1411, 13mpi 20 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
1510, 14ssind 3663 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
16 ocsh 26615 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
17 ocin 26628 . . . . . . 7  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  ->  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )  =  0H )
1816, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )  =  0H )
1915, 18sseqtrd 3478 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  0H )
20 ocsh 26615 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  e.  SH )
21 sh0le 26772 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A
) ) )  e.  SH  ->  0H  C_  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) ) )
227, 20, 213syl 18 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  0H  C_  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A
) ) ) )
2319, 22eqssd 3459 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  =  0H )
2423fveq2d 5853 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( _|_ `  0H ) )
25 choc0 26658 . . 3  |-  ( _|_ `  0H )  =  ~H
2624, 25syl6eq 2459 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ~H )
273, 26eqtrd 2443 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   ~Hchil 26250   SHcsh 26259   _|_cort 26261    vH chj 26264   0Hc0h 26266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602  ax-hilex 26330  ax-hfvadd 26331  ax-hvcom 26332  ax-hvass 26333  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337  ax-hvmulass 26338  ax-hvdistr1 26339  ax-hvdistr2 26340  ax-hvmul0 26341  ax-hfi 26410  ax-his1 26413  ax-his2 26414  ax-his3 26415  ax-his4 26416
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-lm 20023  df-haus 20109  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-gdiv 25610  df-ablo 25698  df-vc 25853  df-nv 25899  df-va 25902  df-ba 25903  df-sm 25904  df-0v 25905  df-vs 25906  df-nmcv 25907  df-ims 25908  df-hnorm 26299  df-hvsub 26302  df-hlim 26303  df-sh 26538  df-ch 26553  df-oc 26584  df-ch0 26585  df-chj 26642
This theorem is referenced by:  chjoi  26820
  Copyright terms: Public domain W3C validator