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Theorem ssimaex 5777
Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ssimaex.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ssimaex  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " A
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem ssimaex
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmres 5152 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
21imaeq2i 5188 . . . 4  |-  ( F
" dom  ( F  |`  A ) )  =  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)
3 imadmres 5351 . . . 4  |-  ( F
" dom  ( F  |`  A ) )  =  ( F " A
)
42, 3eqtr3i 2465 . . 3  |-  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  =  ( F " A
)
54sseq2i 3402 . 2  |-  ( B 
C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) )  <->  B  C_  ( F " A ) )
6 ssrab2 3458 . . . 4  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F
)
7 ssel2 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )
87adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) ) )
9 fvelima 5764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F ) ( F `  w )  =  z )
109ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F ) ( F `  w )  =  z ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z ) )
12 eleq1a 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
( F `  w
)  e.  B ) )
1312anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `
 w )  e.  B ) ) )
14 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
1514eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  B  <->  ( F `  w )  e.  B
) )
1615elrab 3138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  <->  ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `
 w )  e.  B ) )
1713, 16syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `  w
)  =  z )  ->  ( F `  w )  =  z )
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( F `  w )  =  z ) )
2017, 19jcad 533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  /\  ( F `  w )  =  z ) ) )
2120reximdv2 2846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  B  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
23 funfn 5468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
24 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
256, 24sstri 3386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  C_  dom  F
26 fvelimab 5768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  dom  F )  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
2725, 26mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
2823, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
3022, 29sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
3111, 30syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
3231adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)  ->  z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
338, 32mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )
3433ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
35 fvelima 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z )
3635ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
37 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  w )  =  z  ->  (
( F `  w
)  e.  B  <->  z  e.  B ) )
3837biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  B ) )
3938adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `  w
)  e.  B )  ->  ( ( F `
 w )  =  z  ->  z  e.  B ) )
4016, 39sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  B ) )
4140rexlimiv 2856 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  B )
4236, 41syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  ->  z  e.  B ) )
4342adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } )  -> 
z  e.  B ) )
4434, 43impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  B  <->  z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
4544eqrdv 2441 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )
46 ssimaex.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
4746inex1 4454 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  dom  F )  e.  _V
4847rabex 4464 . . . . 5  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  e.  _V
49 sseq1 3398 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
x  C_  ( A  i^i  dom  F )  <->  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )
) )
50 imaeq2 5186 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  ( F " x )  =  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )
5150eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  ( B  =  ( F " x )  <->  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
5249, 51anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) )  <-> 
( { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) ) )
5348, 52spcev 3085 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )  ->  E. x ( x 
C_  ( A  i^i  dom 
F )  /\  B  =  ( F "
x ) ) )
546, 45, 53sylancr 663 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. x
( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) ) )
55 inss1 3591 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
56 sstr 3385 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( A  i^i  dom  F
)  C_  A )  ->  x  C_  A )
5755, 56mpan2 671 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( A  i^i  dom 
F )  ->  x  C_  A )
5857anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) )  -> 
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
5958eximi 1625 . . 3  |-  ( E. x ( x  C_  ( A  i^i  dom  F
)  /\  B  =  ( F " x ) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
6054, 59syl 16 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
615, 60sylan2br 476 1  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " A
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   dom cdm 4861    |` cres 4863   "cima 4864   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   ` cfv 5439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-fv 5447
This theorem is referenced by:  ssimaexg  5778
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