Theorem ssiinOLD 3303

Description: Subset theorem for an indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
ssiinOLD	|- (C C_ |^|_x e. A B <-> A.x e. A C C_ B)

Distinct variable group:   x,C

Proof of Theorem ssiinOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
2		eliin 3260	. . . . . 6 |- (y e. _V -> (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B))
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B)
4	3	imbi2i 202	. . . 4 |- ((y e. C -> y e. |^|_x e. A B) <-> (y e. C -> A.x e. A y e. B))
5		r19.21v 2178	. . . 4 |- (A.x e. A (y e. C -> y e. B) <-> (y e. C -> A.x e. A y e. B))
6		df-ral 2109	. . . 4 |- (A.x e. A (y e. C -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
7	4, 5, 6	3bitr2i 196	. . 3 |- ((y e. C -> y e. |^|_x e. A B) <-> A.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
8	7	albii 1346	. 2 |- (A.y(y e. C -> y e. |^|_x e. A B) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
9		dfss2 2610	. 2 |- (C C_ |^|_x e. A B <-> A.y(y e. C -> y e. |^|_x e. A B))
10		dfss2 2610	. . . 4 |- (C C_ B <-> A.y(y e. C -> y e. B))
11	10	ralbii 2127	. . 3 |- (A.x e. A C C_ B <-> A.x e. A A.y(y e. C -> y e. B))
12		df-ral 2109	. . 3 |- (A.x e. A A.y(y e. C -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
13		19.21v 1663	. . . . 5 |- (A.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> (x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
14	13	albii 1346	. . . 4 |- (A.xA.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
15		alcom 1379	. . . 4 |- (A.xA.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
16	14, 15	bitr3i 192	. . 3 |- (A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
17	11, 12, 16	3bitri 194	. 2 |- (A.x e. A C C_ B <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
18	8, 9, 17	3bitr4i 200	1 |- (C C_ |^|_x e. A B <-> A.x e. A C C_ B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163  A.wal 1296   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  |^|_ciin 3256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-iin 3258

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