Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssidcn Structured version   Unicode version

Theorem ssidcn 20049
 Description: The identity function is a continuous function from one topology to another topology on the same set iff the domain is finer than the codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssidcn TopOn TopOn

Proof of Theorem ssidcn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 20029 . . 3 TopOn TopOn
2 f1oi 5834 . . . . 5
3 f1of 5799 . . . . 5
42, 3ax-mp 5 . . . 4
54biantrur 504 . . 3
61, 5syl6bbr 263 . 2 TopOn TopOn
7 cnvresid 5639 . . . . . . 7
87imaeq1i 5154 . . . . . 6
9 elssuni 4220 . . . . . . . . 9
109adantl 464 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
11 toponuni 19720 . . . . . . . . 9 TopOn
1211ad2antlr 725 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
1310, 12sseqtr4d 3479 . . . . . . 7 TopOn TopOn
14 resiima 5171 . . . . . . 7
1513, 14syl 17 . . . . . 6 TopOn TopOn
168, 15syl5eq 2455 . . . . 5 TopOn TopOn
1716eleq1d 2471 . . . 4 TopOn TopOn
1817ralbidva 2840 . . 3 TopOn TopOn
19 dfss3 3432 . . 3
2018, 19syl6bbr 263 . 2 TopOn TopOn
216, 20bitrd 253 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754   wss 3414  cuni 4191   cid 4733  ccnv 4822   cres 4825  cima 4826  wf 5565  wf1o 5568  cfv 5569  (class class class)co 6278  TopOnctopon 19687   ccn 20018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-top 19691  df-topon 19694  df-cn 20021 This theorem is referenced by:  idcn  20051  sshauslem  20166
 Copyright terms: Public domain W3C validator