Theorem sshjval 10953

Description: Value of join for subsets of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
sshjval	|- ((A C_ ~H /\ B C_ ~H) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))

Proof of Theorem sshjval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 4689	. . 3 |- (_|_` (_|_` (A u. B))) e. _V
2		uneq1 2748	. . . . 5 |- (x = A -> (x u. y) = (A u. y))
3	2	fveq2d 4685	. . . 4 |- (x = A -> (_|_` (x u. y)) = (_|_` (A u. y)))
4	3	fveq2d 4685	. . 3 |- (x = A -> (_|_` (_|_` (x u. y))) = (_|_` (_|_` (A u. y))))
5		uneq2 2749	. . . . 5 |- (y = B -> (A u. y) = (A u. B))
6	5	fveq2d 4685	. . . 4 |- (y = B -> (_|_` (A u. y)) = (_|_` (A u. B)))
7	6	fveq2d 4685	. . 3 |- (y = B -> (_|_` (_|_` (A u. y))) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
8		df-chj 10908	. . . 4 |- vH = {<.<.x, y>., z>. | ((x C_ ~H /\ y C_ ~H) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
9		ax-hilex 10501	. . . . . . . 8 |- ~H e. _V
10	9	elpw2 3464	. . . . . . 7 |- (x e. ~P~H <-> x C_ ~H)
11	9	elpw2 3464	. . . . . . 7 |- (y e. ~P~H <-> y C_ ~H)
12	10, 11	anbi12i 540	. . . . . 6 |- ((x e. ~P~H /\ y e. ~P~H) <-> (x C_ ~H /\ y C_ ~H))
13	12	anbi1i 539	. . . . 5 |- (((x e. ~P~H /\ y e. ~P~H) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y)))) <-> ((x C_ ~H /\ y C_ ~H) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y)))))
14	13	oprabbii 4923	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ~P~H /\ y e. ~P~H) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x C_ ~H /\ y C_ ~H) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
15	8, 14	eqtr4i 1911	. . 3 |- vH = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ~P~H /\ y e. ~P~H) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
16	1, 4, 7, 15	oprabval2 4957	. 2 |- ((A e. ~P~H /\ B e. ~P~H) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
17	9	elpw2 3464	. 2 |- (A e. ~P~H <-> A C_ ~H)
18	9	elpw2 3464	. 2 |- (B e. ~P~H <-> B C_ ~H)
19	16, 17, 18	syl2anbr 505	1 |- ((A C_ ~H /\ B C_ ~H) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  ~Hchil 10420  _|_cort 10431   vH chj 10434

This theorem is referenced by:  shjval 10954  sshjcl 10960  sshhococi 11102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-chj 10908

Copyright terms: Public domain