Theorem ssgt0sr 6369

Description: The sum of squares of signed reals is positive if one is nonzero.

Hypotheses

Ref	Expression
ssgt0sr.1	|- A e. _V
ssgt0sr.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
ssgt0sr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. (A = 0R /\ B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))

Proof of Theorem ssgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssgt0sr.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. _V
2	1	sqgt0sr 6367	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))
3	2	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. R. /\ -. A = 0R) -> 0R <R (A .R A))
4	3	adantrr 431	. . . . . . . . 9 |- ((A e. R. /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> 0R <R (A .R A))
5		opreq12 4891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B = 0R /\ B = 0R) -> (B .R B) = (0R .R 0R))
6	5	anidms 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B = 0R -> (B .R B) = (0R .R 0R))
7		0r 6341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
8		00sr 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0R .R 0R) = 0R
10	6, 9	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B = 0R -> (B .R B) = 0R)
11	10	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . 12 |- (B = 0R -> ((A .R A) +R (B .R B)) = ((A .R A) +R 0R))
12		mulclsr 6345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. R. /\ A e. R.) -> (A .R A) e. R.)
13	12	anidms 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. R. -> (A .R A) e. R.)
14		0idsr 6358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A .R A) e. R. -> ((A .R A) +R 0R) = (A .R A))
15	13, 14	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. R. -> ((A .R A) +R 0R) = (A .R A))
16	11, 15	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. R. /\ B = 0R) -> ((A .R A) +R (B .R B)) = (A .R A))
17	16	breq2d 3350	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. R. /\ B = 0R) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (A .R A)))
18	17	adantrl 430	. . . . . . . . 9 |- ((A e. R. /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (A .R A)))
19	4, 18	mpbird 213	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
20	19	adantlr 429	. . . . . . 7 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
21	20	ancoms 484	. . . . . 6 |- (((-. A = 0R /\ B = 0R) /\ (A e. R. /\ B e. R.)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
22	21	exp31 407	. . . . 5 |- (-. A = 0R -> (B = 0R -> ((A e. R. /\ B e. R.) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
23		ssgt0sr.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. _V
24	23	sqgt0sr 6367	. . . . . . . . 9 |- (B e. R. -> (-. B = 0R -> 0R <R (B .R B)))
25	2, 24	im2anan9 622	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((-. A = 0R /\ -. B = 0R) -> (0R <R (A .R A) /\ 0R <R (B .R B))))
26		oprex 4907	. . . . . . . . 9 |- (A .R A) e. _V
27		oprex 4907	. . . . . . . . 9 |- (B .R B) e. _V
28	26, 27	addgt0sr 6365	. . . . . . . 8 |- ((0R <R (A .R A) /\ 0R <R (B .R B)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
29	25, 28	syl6 25	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((-. A = 0R /\ -. B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
30	29	exp3a 405	. . . . . 6 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. A = 0R -> (-. B = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
31	30	com3l 38	. . . . 5 |- (-. A = 0R -> (-. B = 0R -> ((A e. R. /\ B e. R.) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
32	22, 31	pm2.61d 141	. . . 4 |- (-. A = 0R -> ((A e. R. /\ B e. R.) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
33	32	com12 14	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. A = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
34	24	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((B e. R. /\ -. B = 0R) -> 0R <R (B .R B))
35	34	adantrl 430	. . . . . . 7 |- ((B e. R. /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> 0R <R (B .R B))
36		opreq12 4891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A = 0R /\ A = 0R) -> (A .R A) = (0R .R 0R))
37	36	anidms 480	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = 0R -> (A .R A) = (0R .R 0R))
38	37, 9	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . 11 |- (A = 0R -> (A .R A) = 0R)
39	38	opreq1d 4897	. . . . . . . . . 10 |- (A = 0R -> ((A .R A) +R (B .R B)) = (0R +R (B .R B)))
40		mulclsr 6345	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. R. /\ B e. R.) -> (B .R B) e. R.)
41	40	anidms 480	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. R. -> (B .R B) e. R.)
42		0idsr 6358	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B .R B) e. R. -> ((B .R B) +R 0R) = (B .R B))
43	7	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0R e. _V
44	43, 27	addcomsr 6348	. . . . . . . . . . . 12 |- (0R +R (B .R B)) = ((B .R B) +R 0R)
45	42, 44	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . 11 |- ((B .R B) e. R. -> (0R +R (B .R B)) = (B .R B))
46	41, 45	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (B e. R. -> (0R +R (B .R B)) = (B .R B))
47	39, 46	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . 9 |- ((B e. R. /\ A = 0R) -> ((A .R A) +R (B .R B)) = (B .R B))
48	47	breq2d 3350	. . . . . . . 8 |- ((B e. R. /\ A = 0R) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (B .R B)))
49	48	adantrr 431	. . . . . . 7 |- ((B e. R. /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (B .R B)))
50	35, 49	mpbird 213	. . . . . 6 |- ((B e. R. /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
51	50	adantll 428	. . . . 5 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
52	51	exp32 408	. . . 4 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A = 0R -> (-. B = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
53	52, 30	pm2.61d 141	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. B = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
54	33, 53	jaod 469	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((-. A = 0R \/ -. B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
55		ianor 329	. 2 |- (-. (A = 0R /\ B = 0R) <-> (-. A = 0R \/ -. B = 0R))
56	54, 55	syl5ib 223	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. (A = 0R /\ B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  R.cnr 6145  0Rc0r 6146   +R cplr 6149   .R cmr 6150   <R cltr 6151

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325

Copyright terms: Public domain