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Theorem ssfzo12bi 11871
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12bi  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  <->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) )

Proof of Theorem ssfzo12bi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 975 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  K  <  L ) )
21biimpri 206 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )
323adant2 1015 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )
4 ssfzo12 11869 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
6 elfzo2 11796 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( K..^ L
)  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  L  e.  ZZ  /\  x  <  L ) )
7 eluz2 11084 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  K  <_  x ) )
8 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  M  e.  ZZ )
10 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  x  e.  ZZ )
11 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  RR )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  RR )
15 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  RR )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  K  e.  RR )
19 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  x  e.  RR )
21 letr 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  M  <_  x
) )
2214, 18, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  M  <_  x ) )
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  M  <_  x )
249, 10, 233jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
2524exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  <_  K  /\  K  <_  x
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2625com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2726expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  -> 
( K  <_  x  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2827impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( M  <_  K  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2928com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  K  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
30293adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( M  <_  K  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3130com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  <_  K  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  <_  K  /\  L  <_  N )  -> 
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3332impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3635imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
37 eluz2 11084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
3836, 37sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )
39 simpl2r 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
4119adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
42 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
4342ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
44 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
48 ltletr 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( x  <  L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N
) )
4941, 43, 47, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( x  e.  ZZ  ->  ( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N ) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
52513adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  <  L  /\  L  <_  N )  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
5352expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
x  <  L  ->  ( L  <_  N  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) ) )
5453com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( L  <_  N  ->  (
x  <  L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) ) )
5554adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( M  <_  K  /\  L  <_  N )  ->  ( x  < 
L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) ) )
5655imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( x  <  L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
5756com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) ) )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) ) )
5958imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) )
6059imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  <  N
)
61 elfzo2 11796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M..^ N
)  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  x  <  N ) )
6238, 40, 60, 61syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) )
6362exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
64633adant1 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  (
x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
657, 64sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( x  <  L  ->  ( (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
6665imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  x  <  L )  ->  (
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
67663adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  L  e.  ZZ  /\  x  < 
L )  ->  (
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
686, 67sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( K..^ L
)  ->  ( (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
6968com12 31 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( x  e.  ( K..^ L )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
7069ssrdv 3510 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
) )
7170ex 434 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( M  <_  K  /\  L  <_  N )  ->  ( K..^ L
)  C_  ( M..^ N ) ) )
725, 71impbid 191 1  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  <->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487    < clt 9624    <_ cle 9625   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078  ..^cfzo 11788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789
This theorem is referenced by:  repswswrd  12715
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