MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzo12bi Structured version   Unicode version

Theorem ssfzo12bi 11734
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12bi  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  <->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) )

Proof of Theorem ssfzo12bi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 967 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  K  <  L ) )
21biimpri 206 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )
323adant2 1007 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )
4 ssfzo12 11732 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
6 elfzo2 11668 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( K..^ L
)  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  L  e.  ZZ  /\  x  <  L ) )
7 eluz2 10973 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  K  <_  x ) )
8 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  M  e.  ZZ )
10 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  x  e.  ZZ )
11 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  RR )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  RR )
15 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  RR )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  K  e.  RR )
19 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  x  e.  RR )
21 letr 9574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  M  <_  x
) )
2214, 18, 20, 21syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  M  <_  x ) )
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  M  <_  x )
249, 10, 233jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
2524exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  <_  K  /\  K  <_  x
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2625com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2726expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  -> 
( K  <_  x  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2827impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( M  <_  K  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2928com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  K  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
30293adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( M  <_  K  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3130com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  <_  K  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  <_  K  /\  L  <_  N )  -> 
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3332impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3635imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
37 eluz2 10973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
3836, 37sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )
39 simpl2r 1042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
4119adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
42 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
4342ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
44 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
48 ltletr 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( x  <  L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N
) )
4941, 43, 47, 48syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( x  e.  ZZ  ->  ( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N ) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
52513adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  <  L  /\  L  <_  N )  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
5352expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
x  <  L  ->  ( L  <_  N  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) ) )
5453com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( L  <_  N  ->  (
x  <  L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) ) )
5554adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( M  <_  K  /\  L  <_  N )  ->  ( x  < 
L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) ) )
5655imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( x  <  L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
5756com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) ) )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) ) )
5958imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) )
6059imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  <  N
)
61 elfzo2 11668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M..^ N
)  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  x  <  N ) )
6238, 40, 60, 61syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) )
6362exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
64633adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  (
x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
657, 64sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( x  <  L  ->  ( (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
6665imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  x  <  L )  ->  (
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
67663adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  L  e.  ZZ  /\  x  < 
L )  ->  (
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
686, 67sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( K..^ L
)  ->  ( (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
6968com12 31 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( x  e.  ( K..^ L )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
7069ssrdv 3465 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
) )
7170ex 434 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( M  <_  K  /\  L  <_  N )  ->  ( K..^ L
)  C_  ( M..^ N ) ) )
725, 71impbid 191 1  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  <->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    C_ wss 3431   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   RRcr 9387    < clt 9524    <_ cle 9525   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967  ..^cfzo 11660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661
This theorem is referenced by:  repswswrd  12535
  Copyright terms: Public domain W3C validator