MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzo12 Structured version   Unicode version

Theorem ssfzo12 12010
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12
StepHypRef Expression
1 fzolb2 11934 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( K..^ L )  <->  K  <  L ) )
21biimp3ar 1365 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  K  e.  ( K..^ L ) )
3 fzoend 12008 . . 3  |-  ( K  e.  ( K..^ L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )
4 ssel2 3459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  K  e.  ( K..^ L ) )  ->  K  e.  ( M..^ N ) )
5 ssel2 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  ( M..^ N ) )
6 elfzolt2 11936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( L  -  1 )  < 
N )
7 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  L  e.  ZZ )
8 elfzoel2 11926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
9 zlem1lt 10995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  <->  ( L  -  1 )  <  N ) )
107, 8, 9syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( L  <_  N  <->  ( L  -  1 )  <  N ) )
11 elfzole1 11935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  K )
12 pm3.2 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  <_  K  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1413adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1510, 14sylbird 238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( ( L  - 
1 )  <  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1615ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  <  N  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1716com13 83 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  -  1 )  <  N  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( K  e.  ( M..^ N )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
185, 6, 173syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1918ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2019com24 90 . . . . . . 7  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( M..^ N )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  e.  ( K..^ L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
214, 20syl5com 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  K  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2221ex 435 . . . . 5  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K..^ L
)  C_  ( M..^ N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) ) )
2322pm2.43a 51 . . . 4  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  e.  ( K..^ L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2423com14 91 . . 3  |-  ( ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L
)  ->  ( K  e.  ( K..^ L )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
253, 24mpcom 37 . 2  |-  ( K  e.  ( K..^ L
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
262, 25mpcom 37 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1872    C_ wss 3436   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   1c1 9547    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867   ZZcz 10944  ..^cfzo 11922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923
This theorem is referenced by:  ssfzoulel  12011  ssfzo12bi  12012
  Copyright terms: Public domain W3C validator