MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzo12 Structured version   Unicode version

Theorem ssfzo12 11741
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12
StepHypRef Expression
1 fzolb2 11680 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( K..^ L )  <->  K  <  L ) )
21biimp3ar 1320 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  K  e.  ( K..^ L ) )
3 fzoend 11739 . . 3  |-  ( K  e.  ( K..^ L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )
4 ssel2 3462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  K  e.  ( K..^ L ) )  ->  K  e.  ( M..^ N ) )
5 ssel2 3462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  ( M..^ N ) )
6 elfzolt2 11682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( L  -  1 )  < 
N )
7 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  L  e.  ZZ )
8 elfzoel2 11673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
9 zlem1lt 10811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  <->  ( L  -  1 )  <  N ) )
107, 8, 9syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( L  <_  N  <->  ( L  -  1 )  <  N ) )
11 elfzole1 11681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  K )
12 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  <_  K  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1510, 14sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( ( L  - 
1 )  <  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1615ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  <  N  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1716com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  -  1 )  <  N  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( K  e.  ( M..^ N )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
185, 6, 173syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1918ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2019com24 87 . . . . . . 7  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( M..^ N )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  e.  ( K..^ L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
214, 20syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  K  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2221ex 434 . . . . 5  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K..^ L
)  C_  ( M..^ N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) ) )
2322pm2.43a 49 . . . 4  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  e.  ( K..^ L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2423com14 88 . . 3  |-  ( ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L
)  ->  ( K  e.  ( K..^ L )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
253, 24mpcom 36 . 2  |-  ( K  e.  ( K..^ L
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
262, 25mpcom 36 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    C_ wss 3439   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   1c1 9398    < clt 9533    <_ cle 9534    - cmin 9710   ZZcz 10761  ..^cfzo 11669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670
This theorem is referenced by:  ssfzoulel  11742  ssfzo12bi  11743  swrdnd  12448  swrdvalodm2  12455
  Copyright terms: Public domain W3C validator