Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssfz12 Structured version   Unicode version

Theorem ssfz12 38852
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfz12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )

Proof of Theorem ssfz12
StepHypRef Expression
1 eluz 11123 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  L ) )
21biimp3ar 1365 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  L  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 eluzfz1 11757 . . 3  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ( K ... L ) )
42, 3syl 17 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  K  e.  ( K ... L
) )
5 eluzfz2 11758 . . . 4  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  L  e.  ( K ... L ) )
62, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  L  e.  ( K ... L
) )
7 ssel2 3402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  K  e.  ( K ... L
) )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
8 ssel2 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  L  e.  ( K ... L
) )  ->  L  e.  ( M ... N
) )
9 elfzuz3 11748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)
10 elfzuz 11747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 eluz2 11116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
12 eluz2 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )
13 pm3.21 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
14133ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1512, 14sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1716com13 83 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  <_  K  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
18173ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1911, 18sylbi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2120com12 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
228, 9, 213syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  L  e.  ( K ... L
) )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2322ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( L  e.  ( K ... L )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2423com4t 88 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
257, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  K  e.  ( K ... L
) )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
2625ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( K  e.  ( K ... L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) ) )
2726com24 90 . . . . 5  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( L  e.  ( K ... L
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) ) )
2827pm2.43i 49 . . . 4  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( L  e.  ( K ... L
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2928com14 91 . . 3  |-  ( L  e.  ( K ... L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
306, 29mpcom 37 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( K  e.  ( K ... L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
314, 30mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1872    C_ wss 3379   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    <_ cle 9627   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   ...cfz 11735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-pre-lttri 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-neg 9814  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator