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Theorem ssfz12 32651
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfz12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )

Proof of Theorem ssfz12
StepHypRef Expression
1 eluz 11014 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  L ) )
21biimp3ar 1327 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  L  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 eluzfz1 11614 . . 3  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ( K ... L ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  K  e.  ( K ... L
) )
5 eluzfz2 11615 . . . 4  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  L  e.  ( K ... L ) )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  L  e.  ( K ... L
) )
7 ssel2 3412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  K  e.  ( K ... L
) )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
8 ssel2 3412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  L  e.  ( K ... L
) )  ->  L  e.  ( M ... N
) )
9 elfzuz3 11606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)
10 elfzuz 11605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 eluz2 11007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
12 eluz2 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )
13 pm3.21 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
14133ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1512, 14sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1716com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  <_  K  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
18173ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1911, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2120com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
228, 9, 213syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  L  e.  ( K ... L
) )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2322ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( L  e.  ( K ... L )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2423com4t 85 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
257, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  K  e.  ( K ... L
) )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
2625ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( K  e.  ( K ... L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) ) )
2726com24 87 . . . . 5  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( L  e.  ( K ... L
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) ) )
2827pm2.43i 47 . . . 4  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( L  e.  ( K ... L
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2928com14 88 . . 3  |-  ( L  e.  ( K ... L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
306, 29mpcom 36 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( K  e.  ( K ... L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
314, 30mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1826    C_ wss 3389   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    <_ cle 9540   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-pre-lttri 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-neg 9721  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594
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