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Theorem ssfz12 30346
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfz12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )

Proof of Theorem ssfz12
StepHypRef Expression
1 eluz 10986 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  L ) )
21biimp3ar 1320 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  L  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 eluzfz1 11576 . . 3  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ( K ... L ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  K  e.  ( K ... L
) )
5 eluzfz2 11577 . . . 4  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  L  e.  ( K ... L ) )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  L  e.  ( K ... L
) )
7 ssel2 3460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  K  e.  ( K ... L
) )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
8 ssel2 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  L  e.  ( K ... L
) )  ->  L  e.  ( M ... N
) )
9 elfzuz3 11568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)
10 elfzuz 11567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 eluz2 10979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
12 eluz2 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )
13 pm3.21 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
14133ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1512, 14sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1716com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  <_  K  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
18173ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1911, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2120com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
228, 9, 213syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  L  e.  ( K ... L
) )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2322ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( L  e.  ( K ... L )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2423com4t 85 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
257, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  K  e.  ( K ... L
) )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
2625ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( K  e.  ( K ... L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) ) )
2726com24 87 . . . . 5  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( L  e.  ( K ... L
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) ) )
2827pm2.43i 47 . . . 4  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( L  e.  ( K ... L
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2928com14 88 . . 3  |-  ( L  e.  ( K ... L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
306, 29mpcom 36 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( K  e.  ( K ... L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
314, 30mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    C_ wss 3437   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    <_ cle 9531   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973   ...cfz 11555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-pre-lttri 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-neg 9710  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556
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