MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfii Structured version   Unicode version

Theorem ssfii 7939
Description: Any element of a set  A is the intersection of a finite subset of  A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfii  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )

Proof of Theorem ssfii
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3090 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21intsn 4295 . . . 4  |-  |^| { x }  =  x
3 simpl 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  V )
4 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
54snssd 4148 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
61snnz 4121 . . . . . 6  |-  { x }  =/=  (/)
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  =/=  (/) )
8 snfi 7657 . . . . . 6  |-  { x }  e.  Fin
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  Fin )
10 elfir 7935 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( { x }  C_  A  /\  { x }  =/=  (/)  /\  { x }  e.  Fin )
)  ->  |^| { x }  e.  ( fi `  A ) )
113, 5, 7, 9, 10syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  |^| { x }  e.  ( fi `  A
) )
122, 11syl5eqelr 2522 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( fi
`  A ) )
1312ex 435 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  ( fi `  A ) ) )
1413ssrdv 3476 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870    =/= wne 2625    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   |^|cint 4258   ` cfv 5601   Fincfn 7577   ficfi 7930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-1o 7190  df-en 7578  df-fin 7581  df-fi 7931
This theorem is referenced by:  fieq0  7941  dffi2  7943  inficl  7945  fiuni  7948  dffi3  7951  inffien  8492  fictb  8673  ordtbas2  20138  ordtbas  20139  ordtopn1  20141  ordtopn2  20142  leordtval2  20159  subbascn  20201  2ndcsb  20395  ptbasfi  20527  xkoopn  20535  fsubbas  20813  fbunfip  20815  isufil2  20854  ufileu  20865  filufint  20866  fmfnfmlem4  20903  fmfnfm  20904  hausflim  20927  flimclslem  20930  fclsfnflim  20973  flimfnfcls  20974  fclscmp  20976  alexsubb  20992  alexsubALTlem4  20996  ordtconlem1  28569  topjoin  30806
  Copyright terms: Public domain W3C validator