MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfii Structured version   Unicode version

Theorem ssfii 7879
Description: Any element of a set  A is the intersection of a finite subset of  A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfii  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )

Proof of Theorem ssfii
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3116 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21intsn 4318 . . . 4  |-  |^| { x }  =  x
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  V )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
54snssd 4172 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
61snnz 4145 . . . . . 6  |-  { x }  =/=  (/)
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  =/=  (/) )
8 snfi 7596 . . . . . 6  |-  { x }  e.  Fin
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  Fin )
10 elfir 7875 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( { x }  C_  A  /\  { x }  =/=  (/)  /\  { x }  e.  Fin )
)  ->  |^| { x }  e.  ( fi `  A ) )
113, 5, 7, 9, 10syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  |^| { x }  e.  ( fi `  A
) )
122, 11syl5eqelr 2560 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( fi
`  A ) )
1312ex 434 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  ( fi `  A ) ) )
1413ssrdv 3510 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   |^|cint 4282   ` cfv 5588   Fincfn 7516   ficfi 7870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-1o 7130  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871
This theorem is referenced by:  fieq0  7881  dffi2  7883  inficl  7885  fiuni  7888  dffi3  7891  inffien  8444  fictb  8625  ordtbas2  19486  ordtbas  19487  ordtopn1  19489  ordtopn2  19490  leordtval2  19507  subbascn  19549  2ndcsb  19744  ptbasfi  19845  xkoopn  19853  fsubbas  20131  fbunfip  20133  isufil2  20172  ufileu  20183  filufint  20184  fmfnfmlem4  20221  fmfnfm  20222  hausflim  20245  flimclslem  20248  fclsfnflim  20291  flimfnfcls  20292  fclscmp  20294  alexsubb  20309  alexsubALTlem4  20313  ordtconlem1  27570  topjoin  29814
  Copyright terms: Public domain W3C validator