MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfg Structured version   Unicode version

Theorem ssfg 20351
Description: A filter base is a subset of its generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfg  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )

Proof of Theorem ssfg
Dummy variables  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbelss 20312 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  t  e.  F )  ->  t  C_  X )
21ex 434 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  t  C_  X ) )
3 ssid 3508 . . . . . 6  |-  t  C_  t
4 sseq1 3510 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
x  C_  t  <->  t  C_  t ) )
54rspcev 3196 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  F  /\  t  C_  t )  ->  E. x  e.  F  x  C_  t )
63, 5mpan2 671 . . . . 5  |-  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
)
76a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
) )
82, 7jcad 533 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  ( t 
C_  X  /\  E. x  e.  F  x  C_  t ) ) )
9 elfg 20350 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. x  e.  F  x  C_  t ) ) )
108, 9sylibrd 234 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  t  e.  ( X filGen F ) ) )
1110ssrdv 3495 1  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1804   E.wrex 2794    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   fBascfbas 18385   filGencfg 18386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-fbas 18395  df-fg 18396
This theorem is referenced by:  fgss2  20353  fgfil  20354  fgabs  20358  trfg  20370  isufil2  20387  ssufl  20397  ufileu  20398  filufint  20399  elfm2  20427  fmfnfmlem4  20436  fmfnfm  20437  fmco  20440  hausflim  20460  flimclslem  20463  flffbas  20474  fclsbas  20500  fclsfnflim  20506  flimfnfcls  20507  fclscmp  20509  isucn2  20760  cfilufg  20774  metustOLD  21048  metust  21049  metutopOLD  21063  psmetutop  21064  fgcfil  21688  cmetss  21731  minveclem4a  21823  minveclem4  21825  fgmin  30164
  Copyright terms: Public domain W3C validator