MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfg Structured version   Unicode version

Theorem ssfg 19445
Description: A filter base is a subset of its generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfg  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )

Proof of Theorem ssfg
Dummy variables  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbelss 19406 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  t  e.  F )  ->  t  C_  X )
21ex 434 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  t  C_  X ) )
3 ssid 3375 . . . . . 6  |-  t  C_  t
4 sseq1 3377 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
x  C_  t  <->  t  C_  t ) )
54rspcev 3073 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  F  /\  t  C_  t )  ->  E. x  e.  F  x  C_  t )
63, 5mpan2 671 . . . . 5  |-  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
)
76a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
) )
82, 7jcad 533 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  ( t 
C_  X  /\  E. x  e.  F  x  C_  t ) ) )
9 elfg 19444 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. x  e.  F  x  C_  t ) ) )
108, 9sylibrd 234 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  t  e.  ( X filGen F ) ) )
1110ssrdv 3362 1  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   E.wrex 2716    C_ wss 3328   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   fBascfbas 17804   filGencfg 17805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-fbas 17814  df-fg 17815
This theorem is referenced by:  fgss2  19447  fgfil  19448  fgabs  19452  trfg  19464  isufil2  19481  ssufl  19491  ufileu  19492  filufint  19493  elfm2  19521  fmfnfmlem4  19530  fmfnfm  19531  fmco  19534  hausflim  19554  flimclslem  19557  flffbas  19568  fclsbas  19594  fclsfnflim  19600  flimfnfcls  19601  fclscmp  19603  isucn2  19854  cfilufg  19868  metustOLD  20142  metust  20143  metutopOLD  20157  psmetutop  20158  fgcfil  20782  cmetss  20825  minveclem4a  20917  minveclem4  20919  fgmin  28591
  Copyright terms: Public domain W3C validator