MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfg Structured version   Unicode version

Theorem ssfg 20108
Description: A filter base is a subset of its generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfg  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )

Proof of Theorem ssfg
Dummy variables  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbelss 20069 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  t  e.  F )  ->  t  C_  X )
21ex 434 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  t  C_  X ) )
3 ssid 3523 . . . . . 6  |-  t  C_  t
4 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
x  C_  t  <->  t  C_  t ) )
54rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  F  /\  t  C_  t )  ->  E. x  e.  F  x  C_  t )
63, 5mpan2 671 . . . . 5  |-  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
)
76a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
) )
82, 7jcad 533 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  ( t 
C_  X  /\  E. x  e.  F  x  C_  t ) ) )
9 elfg 20107 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. x  e.  F  x  C_  t ) ) )
108, 9sylibrd 234 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  t  e.  ( X filGen F ) ) )
1110ssrdv 3510 1  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   E.wrex 2815    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   fBascfbas 18177   filGencfg 18178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-fbas 18187  df-fg 18188
This theorem is referenced by:  fgss2  20110  fgfil  20111  fgabs  20115  trfg  20127  isufil2  20144  ssufl  20154  ufileu  20155  filufint  20156  elfm2  20184  fmfnfmlem4  20193  fmfnfm  20194  fmco  20197  hausflim  20217  flimclslem  20220  flffbas  20231  fclsbas  20257  fclsfnflim  20263  flimfnfcls  20264  fclscmp  20266  isucn2  20517  cfilufg  20531  metustOLD  20805  metust  20806  metutopOLD  20820  psmetutop  20821  fgcfil  21445  cmetss  21488  minveclem4a  21580  minveclem4  21582  fgmin  29791
  Copyright terms: Public domain W3C validator