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Theorem sseqp1 26730
Description: Value of the strong sequence builder function at a successor. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
sseqval.2  |-  ( ph  ->  M  e. Word  S )
sseqval.3  |-  W  =  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
sseqval.4  |-  ( ph  ->  F : W --> S )
sseqfv2.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
sseqp1  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) `
 N )  =  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )

Proof of Theorem sseqp1
Dummy variables  x  y  a  b  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.1 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
2 sseqval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e. Word  S )
3 sseqval.3 . . 3  |-  W  =  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
4 sseqval.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F : W --> S )
5 sseqfv2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
61, 2, 3, 4, 5sseqfv2 26729 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) `
 N )  =  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N ) ) )
7 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) ) )
8 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( 0..^ i )  =  ( 0..^ ( # `  M
) ) )
98reseq2d 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) )
109fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) )
1110s1eqd 12284 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M ) ) ) ) "> )
129, 11oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) concat  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) )
137, 12eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) concat  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) ) )
1413imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) concat  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) ) ) )
15 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) )
16 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  (
0..^ i )  =  ( 0..^ n ) )
1716reseq2d 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) )
1817fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) )
1918s1eqd 12284 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )
2017, 19oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) concat  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) concat  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) "> )
)
2115, 20eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) ) )
2221imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) ) ) )
23 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
24 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0..^ i )  =  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) )
2524reseq2d 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) )
2625fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) )
2726s1eqd 12284 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> )
2825, 27oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) concat  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) concat  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ) "> )
)
2923, 28eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) )
3029imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) ) )
31 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  N  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N ) )
32 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  N  ->  (
0..^ i )  =  ( 0..^ N ) )
3332reseq2d 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  N  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) )
3433fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  N  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) )
3534s1eqd 12284 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  N  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> )
3633, 35oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) concat  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) concat  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) "> )
)
3731, 36eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) )
3837imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) ) )
39 lencl 12241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e. Word  S  ->  ( # `
 M )  e. 
NN0 )
4039nn0zd 10737 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e. Word  S  ->  ( # `
 M )  e.  ZZ )
41 seq1 11811 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  M )  e.  ZZ  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( # `  M
) ) )
422, 40, 413syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( # `  M
) ) )
43 ovex 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V
442, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  e.  NN0 )
45 fvconst2g 5926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  M
)  e.  NN0 )  ->  ( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( # `  M
) )  =  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )
4643, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( # `  M
) )  =  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )
4742, 46eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) )
481, 2, 3, 4sseqfres 26728 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M ) ) )  =  M )
4948fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) )  =  ( F `  M ) )
5049s1eqd 12284 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ) ">  =  <" ( F `  M
) "> )
5148, 50oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) concat  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> )  =  ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) )
5247, 51eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) concat  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) )
5352a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
# `  M )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) concat  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) ) )
54 seqp1 11813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ( ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ( ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
57 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
5857s1eqd 12284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  <" ( F `  x ) ">  =  <" ( F `  a ) "> )
5956, 58oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
x concat  <" ( F `
 x ) "> )  =  ( a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )
60 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> )  =  ( a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )
6159, 60cbvmpt2v 6161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) )  =  ( a  e.  _V , 
b  e.  _V  |->  ( a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) )  =  ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a concat  <" ( F `  a ) "> ) ) )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) )
6463fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) )
6564s1eqd 12284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  <" ( F `  a ) ">  =  <" ( F `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
6663, 65oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a ) "> )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) concat  <" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
67 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  e.  _V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  e.  _V )
69 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) )  e. 
_V )
71 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) concat  <" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )  e.  _V
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) concat  <" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )  e.  _V )
7362, 66, 68, 70, 72ovmpt2d 6213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ( ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) concat  <" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
7455, 73eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) concat  <" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
7574adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) concat  <" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
761adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  S  e.  _V )
772adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  M  e. Word  S )
784adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  F : W --> S )
79 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
8076, 77, 3, 78, 79sseqfv2 26729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F ) `
 n )  =  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ) )
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
( Mseqstr F ) `  n
)  =  ( lastS  `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) )
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )
8382fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) )  =  ( lastS  `  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) concat  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) ) )
841, 2, 3, 4sseqf 26727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Mseqstr F ) : NN0 --> S )
85 fzo0ssnn0 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0..^ n )  C_  NN0
86 fssres 5573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Mseqstr F ) : NN0 --> S  /\  ( 0..^ n )  C_  NN0 )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) : ( 0..^ n ) --> S )
8784, 85, 86sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) : ( 0..^ n ) --> S )
88 iswrdi 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) : ( 0..^ n ) --> S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e. Word  S )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e. Word  S )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e. Word  S )
91 elex 2976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e. Word  S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  _V )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  _V )
9384adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( Mseqstr F ) : NN0 --> S )
94 eluznn0 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  M
)  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
9544, 94sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
9676, 93, 95subiwrdlen 26721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( # `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  =  n )
9796, 79eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( # `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
9892, 97jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e. 
_V  /\  ( # `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
99 hashf 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
100 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  #  Fn  _V )
101 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) ) )
10299, 100, 101mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
10398, 102sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
10490, 103elind 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) ) )
105104, 3syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  W )
10678, 105ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  e.  S )
107 lswccats1 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e. Word  S  /\  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  e.  S )  ->  ( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) )
10890, 106, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) concat  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) "> )
)  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) )
11083, 109eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) )
11181, 110eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ n ) ) )  =  ( ( Mseqstr F ) `  n
) )
112111s1eqd 12284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ n ) ) ) ">  =  <" ( ( Mseqstr F ) `  n ) "> )
113112oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) concat  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) concat  <" ( ( Mseqstr F ) `
 n ) "> ) )
11476, 93, 95iwrdsplit 26722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( ( Mseqstr F ) `  n ) "> ) )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( ( Mseqstr F ) `  n ) "> ) )
116113, 82, 1153eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) )
117116fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( F `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) )
118117s1eqd 12284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  <" ( F `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> )
119116, 118oveq12d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) concat  <" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) )
12075, 119eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) )
121120ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) )
122121expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  ( ph  ->  ( (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) ) )
123122a2d 26 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  ( ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( ph  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) ) )
12414, 22, 30, 38, 53, 123uzind4 10904 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) )
1255, 124mpcom 36 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) )
126125fveq2d 5690 . . 3  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N ) )  =  ( lastS  `  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) concat  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) )
127 fzo0ssnn0 11603 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  C_  NN0
128 fssres 5573 . . . . . 6  |-  ( ( ( Mseqstr F ) : NN0 --> S  /\  ( 0..^ N )  C_  NN0 )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) --> S )
12984, 127, 128sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) --> S )
130 iswrdi 12231 . . . . 5  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) --> S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e. Word  S )
131129, 130syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e. Word  S )
132 elex 2976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e. Word  S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  _V )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  _V )
134 eluznn0 10916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  M
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
13544, 5, 134syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1361, 84, 135subiwrdlen 26721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  =  N )
137136, 5eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
138133, 137jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e. 
_V  /\  ( # `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
139 elpreima 5818 . . . . . . . . 9  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) ) )
14099, 100, 139mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
141138, 140sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
142131, 141elind 3535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) ) )
143142, 3syl6eleqr 2529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  W )
1444, 143ffvelrnd 5839 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  e.  S )
145 lswccats1 12304 . . . 4  |-  ( ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e. Word  S  /\  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  e.  S )  ->  ( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )
146131, 144, 145syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) concat  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )
147126, 146eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) )
1486, 147eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) `
 N )  =  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   {csn 3872    X. cxp 4833   `'ccnv 4834    |` cres 4837   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277   +oocpnf 9407   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853  ..^cfzo 11540    seqcseq 11798   #chash 12095  Word cword 12213   lastS clsw 12214   concat cconcat 12215   <"cs1 12216  seqstrcsseq 26718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-word 12221  df-lsw 12222  df-concat 12223  df-s1 12224  df-substr 12225  df-sseq 26719
This theorem is referenced by:  fibp1  26736
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