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Theorem sseqp1 29054
Description: Value of the strong sequence builder function at a successor. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
sseqval.2  |-  ( ph  ->  M  e. Word  S )
sseqval.3  |-  W  =  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
sseqval.4  |-  ( ph  ->  F : W --> S )
sseqfv2.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
sseqp1  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) `
 N )  =  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )

Proof of Theorem sseqp1
Dummy variables  x  y  a  b  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.1 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
2 sseqval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e. Word  S )
3 sseqval.3 . . 3  |-  W  =  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
4 sseqval.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F : W --> S )
5 sseqfv2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
61, 2, 3, 4, 5sseqfv2 29053 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) `
 N )  =  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N ) ) )
7 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) ) )
8 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( 0..^ i )  =  ( 0..^ ( # `  M
) ) )
98reseq2d 5125 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) )
109fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) )
1110s1eqd 12727 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M ) ) ) ) "> )
129, 11oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) )
137, 12eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) ) )
1413imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) ) ) )
15 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) )
16 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  (
0..^ i )  =  ( 0..^ n ) )
1716reseq2d 5125 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) )
1817fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) )
1918s1eqd 12727 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )
2017, 19oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ++  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) "> )
)
2115, 20eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) ) )
2221imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) ) ) )
23 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
24 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0..^ i )  =  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) )
2524reseq2d 5125 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) )
2625fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) )
2726s1eqd 12727 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> )
2825, 27oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ++  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ) "> )
)
2923, 28eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) )
3029imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) ) )
31 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N ) )
32 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  N  ->  (
0..^ i )  =  ( 0..^ N ) )
3332reseq2d 5125 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  N  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) )
3433fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  N  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) )
3534s1eqd 12727 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  N  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> )
3633, 35oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ++  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) "> )
)
3731, 36eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) )
3837imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) ) )
39 ovex 6333 . . . . . . . 8  |-  ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> )  e.  _V
40 lencl 12674 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e. Word  S  ->  ( # `
 M )  e. 
NN0 )
412, 40syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  e.  NN0 )
42 fvconst2g 6133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ++  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  M
)  e.  NN0 )  ->  ( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `  M
) "> ) } ) `  ( # `
 M ) )  =  ( M ++  <" ( F `  M
) "> )
)
4339, 41, 42sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `  M
) "> ) } ) `  ( # `
 M ) )  =  ( M ++  <" ( F `  M
) "> )
)
4440nn0zd 11038 . . . . . . . 8  |-  ( M  e. Word  S  ->  ( # `
 M )  e.  ZZ )
45 seq1 12223 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  M )  e.  ZZ  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) `
 ( # `  M
) ) )
462, 44, 453syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `  M
) "> ) } ) `  ( # `
 M ) ) )
471, 2, 3, 4sseqfres 29052 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M ) ) )  =  M )
4847fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) )  =  ( F `  M ) )
4948s1eqd 12727 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ) ">  =  <" ( F `  M
) "> )
5047, 49oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> )  =  ( M ++  <" ( F `  M ) "> ) )
5143, 46, 503eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) )
5251a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
# `  M )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) ) )
53 seqp1 12225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5453adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
55 id 23 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
56 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
5756s1eqd 12727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  <" ( F `  x ) ">  =  <" ( F `  a ) "> )
5855, 57oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
x ++  <" ( F `
 x ) "> )  =  ( a ++  <" ( F `
 a ) "> ) )
59 eqidd 2430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  (
a ++  <" ( F `
 a ) "> )  =  ( a ++  <" ( F `
 a ) "> ) )
6058, 59cbvmpt2v 6385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) )  =  ( a  e.  _V , 
b  e.  _V  |->  ( a ++  <" ( F `
 a ) "> ) )
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) )  =  ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a ++  <" ( F `  a ) "> ) ) )
62 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) )
6362fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) )
6463s1eqd 12727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  <" ( F `  a ) ">  =  <" ( F `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
6562, 64oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  ( a ++  <" ( F `  a ) "> )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
66 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  e.  _V
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  e.  _V )
68 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `  M
) "> ) } ) `  (
n  +  1 ) )  e.  _V )
70 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )  e.  _V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )  e.  _V )
7261, 65, 67, 69, 71ovmpt2d 6438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
7354, 72eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
7473adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
751adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  S  e.  _V )
762adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  M  e. Word  S )
774adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  F : W --> S )
78 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
7975, 76, 3, 77, 78sseqfv2 29053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F ) `
 n )  =  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ) )
8079adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
( Mseqstr F ) `  n
)  =  ( lastS  `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) )
81 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )
8281fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) )  =  ( lastS  `  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ++  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) ) )
831, 2, 3, 4sseqf 29051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Mseqstr F ) : NN0 --> S )
84 fzo0ssnn0 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0..^ n )  C_  NN0
85 fssres 5766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Mseqstr F ) : NN0 --> S  /\  ( 0..^ n )  C_  NN0 )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) : ( 0..^ n ) --> S )
8683, 84, 85sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) : ( 0..^ n ) --> S )
87 iswrdi 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) : ( 0..^ n ) --> S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e. Word  S )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e. Word  S )
8988adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e. Word  S )
90 elex 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e. Word  S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  _V )
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  _V )
9283adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( Mseqstr F ) : NN0 --> S )
93 eluznn0 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  M
)  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
9441, 93sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
9575, 92, 94subiwrdlen 29045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( # `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  =  n )
9695, 78eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( # `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
97 hashf 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
98 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  #  Fn  _V )
99 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) ) )
10097, 98, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
10191, 96, 100sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
10289, 101elind 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) ) )
103102, 3syl6eleqr 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  W )
10477, 103ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  e.  S )
105 lswccats1 12752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e. Word  S  /\  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  e.  S )  ->  ( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) )
10689, 104, 105syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) )
107106adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) "> )
)  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) )
10880, 82, 1073eqtrrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ n ) ) )  =  ( ( Mseqstr F ) `  n
) )
109108s1eqd 12727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ n ) ) ) ">  =  <" ( ( Mseqstr F ) `  n ) "> )
110109oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ++  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ++  <" ( ( Mseqstr F ) `
 n ) "> ) )
11175, 92, 94iwrdsplit 29046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( ( Mseqstr F ) `  n ) "> ) )
112111adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( ( Mseqstr F ) `  n ) "> ) )
113110, 81, 1123eqtr4d 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) )
114113fveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( F `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) )  =  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
115114s1eqd 12727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  <" ( F `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ) "> )
116113, 115oveq12d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) )
11774, 116eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) )
118117ex 435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) )
119118expcom 436 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  ( ph  ->  ( (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) ) )
120119a2d 29 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  ( ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( ph  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) ) )
12114, 22, 30, 38, 52, 120uzind4 11217 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) )
1225, 121mpcom 37 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) )
123122fveq2d 5885 . 2  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N ) )  =  ( lastS  `  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) )
124 fzo0ssnn0 11991 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  C_  NN0
125 fssres 5766 . . . . 5  |-  ( ( ( Mseqstr F ) : NN0 --> S  /\  ( 0..^ N )  C_  NN0 )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) --> S )
12683, 124, 125sylancl 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) --> S )
127 iswrdi 12662 . . . 4  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) --> S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e. Word  S )
128126, 127syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e. Word  S )
129 elex 3096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e. Word  S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  _V )
130128, 129syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  _V )
131 eluznn0 11228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  M
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
13241, 5, 131syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1331, 83, 132subiwrdlen 29045 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  =  N )
134133, 5eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
135 elpreima 6017 . . . . . . . 8  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) ) )
13697, 98, 135mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
137130, 134, 136sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
138128, 137elind 3656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) ) )
139138, 3syl6eleqr 2528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  W )
1404, 139ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  e.  S )
141 lswccats1 12752 . . 3  |-  ( ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e. Word  S  /\  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  e.  S )  ->  ( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )
142128, 140, 141syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )
1436, 123, 1423eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) `
 N )  =  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   {csn 4002    X. cxp 4852   `'ccnv 4853    |` cres 4856   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   +oocpnf 9671   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159  ..^cfzo 11913    seqcseq 12210   #chash 12512  Word cword 12643   lastS clsw 12644   ++ cconcat 12645   <"cs1 12646  seqstrcsseq 29042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-word 12651  df-lsw 12652  df-concat 12653  df-s1 12654  df-substr 12655  df-sseq 29043
This theorem is referenced by:  fibp1  29060
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