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Theorem sseqp1 29301
Description: Value of the strong sequence builder function at a successor. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
sseqval.2  |-  ( ph  ->  M  e. Word  S )
sseqval.3  |-  W  =  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
sseqval.4  |-  ( ph  ->  F : W --> S )
sseqfv2.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
sseqp1  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) `
 N )  =  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )

Proof of Theorem sseqp1
Dummy variables  x  y  a  b  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.1 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
2 sseqval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e. Word  S )
3 sseqval.3 . . 3  |-  W  =  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
4 sseqval.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F : W --> S )
5 sseqfv2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
61, 2, 3, 4, 5sseqfv2 29300 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) `
 N )  =  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N ) ) )
7 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) ) )
8 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( 0..^ i )  =  ( 0..^ ( # `  M
) ) )
98reseq2d 5111 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) )
109fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) )
1110s1eqd 12793 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M ) ) ) ) "> )
129, 11oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) )
137, 12eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) ) )
1413imbi2d 323 . . . . 5  |-  ( i  =  ( # `  M
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) ) ) )
15 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) )
16 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  (
0..^ i )  =  ( 0..^ n ) )
1716reseq2d 5111 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) )
1817fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) )
1918s1eqd 12793 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )
2017, 19oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ++  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) "> )
)
2115, 20eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) ) )
2221imbi2d 323 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) ) ) )
23 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
24 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0..^ i )  =  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) )
2524reseq2d 5111 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) )
2625fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) )
2726s1eqd 12793 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> )
2825, 27oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ++  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ) "> )
)
2923, 28eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) )
3029imbi2d 323 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) ) )
31 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N ) )
32 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  N  ->  (
0..^ i )  =  ( 0..^ N ) )
3332reseq2d 5111 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  N  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) )
3433fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  N  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) )  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) )
3534s1eqd 12793 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  N  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ i ) ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> )
3633, 35oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ++  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) "> )
)
3731, 36eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) 
<->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) )
3837imbi2d 323 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  i )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ i ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ i ) ) ) "> ) )  <->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) ) )
39 ovex 6336 . . . . . . . 8  |-  ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> )  e.  _V
40 lencl 12737 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e. Word  S  ->  ( # `
 M )  e. 
NN0 )
412, 40syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  e.  NN0 )
42 fvconst2g 6134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ++  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  M
)  e.  NN0 )  ->  ( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `  M
) "> ) } ) `  ( # `
 M ) )  =  ( M ++  <" ( F `  M
) "> )
)
4339, 41, 42sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `  M
) "> ) } ) `  ( # `
 M ) )  =  ( M ++  <" ( F `  M
) "> )
)
4440nn0zd 11061 . . . . . . . 8  |-  ( M  e. Word  S  ->  ( # `
 M )  e.  ZZ )
45 seq1 12264 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  M )  e.  ZZ  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) `
 ( # `  M
) ) )
462, 44, 453syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `  M
) "> ) } ) `  ( # `
 M ) ) )
471, 2, 3, 4sseqfres 29299 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M ) ) )  =  M )
4847fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) )  =  ( F `  M ) )
4948s1eqd 12793 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ) ">  =  <" ( F `  M
) "> )
5047, 49oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> )  =  ( M ++  <" ( F `  M ) "> ) )
5143, 46, 503eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) )
5251a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
# `  M )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( # `  M ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( # `  M
) ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( # `  M
) ) ) ) "> ) ) )
53 seqp1 12266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5453adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
56 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
5756s1eqd 12793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  <" ( F `  x ) ">  =  <" ( F `  a ) "> )
5855, 57oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
x ++  <" ( F `
 x ) "> )  =  ( a ++  <" ( F `
 a ) "> ) )
59 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  (
a ++  <" ( F `
 a ) "> )  =  ( a ++  <" ( F `
 a ) "> ) )
6058, 59cbvmpt2v 6390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) )  =  ( a  e.  _V , 
b  e.  _V  |->  ( a ++  <" ( F `
 a ) "> ) )
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) )  =  ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a ++  <" ( F `  a ) "> ) ) )
62 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) )
6362fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) )
6463s1eqd 12793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  <" ( F `  a ) ">  =  <" ( F `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
6562, 64oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  ( a  =  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  /\  b  =  ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  ( a ++  <" ( F `  a ) "> )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
66 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  e.  _V
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  e.  _V )
68 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `  M
) "> ) } ) `  (
n  +  1 ) )  e.  _V )
70 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )  e.  _V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )  e.  _V )
7261, 65, 67, 69, 71ovmpt2d 6443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ( ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
7354, 72eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
7473adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )
)
751adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  S  e.  _V )
762adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  M  e. Word  S )
774adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  F : W --> S )
78 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
7975, 76, 3, 77, 78sseqfv2 29300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F ) `
 n )  =  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ) )
8079adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
( Mseqstr F ) `  n
)  =  ( lastS  `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) )
81 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )
8281fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) )  =  ( lastS  `  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ++  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) ) )
831, 2, 3, 4sseqf 29298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Mseqstr F ) : NN0 --> S )
84 fzo0ssnn0 12023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0..^ n )  C_  NN0
85 fssres 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Mseqstr F ) : NN0 --> S  /\  ( 0..^ n )  C_  NN0 )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) : ( 0..^ n ) --> S )
8683, 84, 85sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) : ( 0..^ n ) --> S )
87 iswrdi 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) : ( 0..^ n ) --> S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e. Word  S )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e. Word  S )
8988adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e. Word  S )
90 elex 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e. Word  S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  _V )
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  _V )
9283adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( Mseqstr F ) : NN0 --> S )
93 eluznn0 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  M
)  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
9441, 93sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
9575, 92, 94subiwrdlen 29292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( # `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  =  n )
9695, 78eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( # `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
97 hashf 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
98 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  #  Fn  _V )
99 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) ) )
10097, 98, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
10191, 96, 100sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
10289, 101elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) ) )
103102, 3syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e.  W )
10477, 103ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  e.  S )
105 lswccats1 12821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) )  e. Word  S  /\  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) )  e.  S )  ->  ( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) )
10689, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) )
107106adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ++  <" ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ) "> )
)  =  ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) )
10880, 82, 1073eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ n ) ) )  =  ( ( Mseqstr F ) `  n
) )
109108s1eqd 12793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ n ) ) ) ">  =  <" ( ( Mseqstr F ) `  n ) "> )
110109oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ++  <" ( F `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ++  <" ( ( Mseqstr F ) `
 n ) "> ) )
11175, 92, 94iwrdsplit 29293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( ( Mseqstr F ) `  n ) "> ) )
112111adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( ( Mseqstr F ) `  n ) "> ) )
113110, 81, 1123eqtr4d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) )
114113fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( F `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) )  =  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
115114s1eqd 12793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  <" ( F `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n ) ) ">  =  <" ( F `  ( ( Mseqstr
F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ) "> )
116113, 115oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (
(  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ++ 
<" ( F `  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n ) ) "> )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) )
11774, 116eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  /\  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) )
118117ex 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) )
119118expcom 442 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  ( ph  ->  ( (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> )  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) ) )
120119a2d 28 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  ( ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  n )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ n ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ n ) ) ) "> ) )  ->  ( ph  ->  (  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ ( n  + 
1 ) ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ ( n  +  1 ) ) ) ) "> ) ) ) )
12114, 22, 30, 38, 52, 120uzind4 11240 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) )  ->  ( ph  ->  (  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x ++ 
<" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M ++  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) )
1225, 121mpcom 36 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x ++  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M ++  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N )  =  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) )
123122fveq2d 5883 . 2  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  (  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x ++  <" ( F `  x
) "> )
) ,  ( NN0 
X.  { ( M ++ 
<" ( F `  M ) "> ) } ) ) `  N ) )  =  ( lastS  `  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) ) )
124 fzo0ssnn0 12023 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  C_  NN0
125 fssres 5761 . . . . 5  |-  ( ( ( Mseqstr F ) : NN0 --> S  /\  ( 0..^ N )  C_  NN0 )  -> 
( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) --> S )
12683, 124, 125sylancl 675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) --> S )
127 iswrdi 12722 . . . 4  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) --> S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e. Word  S )
128126, 127syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e. Word  S )
129 elex 3040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e. Word  S  ->  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  _V )
130128, 129syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  _V )
131 eluznn0 11251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  M
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
13241, 5, 131syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1331, 83, 132subiwrdlen 29292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  =  N )
134133, 5eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
135 elpreima 6017 . . . . . . . 8  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) ) )
13697, 98, 135mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) )  e.  _V  /\  ( # `
 ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
137130, 134, 136sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
138128, 137elind 3609 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) ) )
139138, 3syl6eleqr 2560 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e.  W )
1404, 139ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  e.  S )
141 lswccats1 12821 . . 3  |-  ( ( ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) )  e. Word  S  /\  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) )  e.  S )  ->  ( lastS  `  ( ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )
142128, 140, 141syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  ( (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ++ 
<" ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  ( 0..^ N ) ) ) "> ) )  =  ( F `  ( ( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )
1436, 123, 1423eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) `
 N )  =  ( F `  (
( Mseqstr F )  |`  (
0..^ N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {csn 3959    X. cxp 4837   `'ccnv 4838    |` cres 4841   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   +oocpnf 9690   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182  ..^cfzo 11942    seqcseq 12251   #chash 12553  Word cword 12703   lastS clsw 12704   ++ cconcat 12705   <"cs1 12706  seqstrcsseq 29289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-sseq 29290
This theorem is referenced by:  fibp1  29307
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