MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssdomg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ssdomg 7615
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 4549 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
2 simpr 463 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  B  e.  V )
3 f1oi 5850 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
4 dff1o3 5820 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  <->  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  /\  Fun  `' (  _I  |`  A )
) )
53, 4mpbi 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  /\  Fun  `' (  _I  |`  A ) )
65simpli 460 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  A ) : A -onto-> A
7 fof 5793 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  A ) : A --> A
9 fss 5737 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  A ) : A --> A  /\  A  C_  B )  -> 
(  _I  |`  A ) : A --> B )
108, 9mpan 676 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (  _I  |`  A ) : A --> B )
11 funi 5612 . . . . . . . 8  |-  Fun  _I
12 cnvi 5240 . . . . . . . . 9  |-  `'  _I  =  _I
1312funeqi 5602 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `'  _I  <->  Fun  _I  )
1411, 13mpbir 213 . . . . . . 7  |-  Fun  `'  _I
15 funres11 5651 . . . . . . 7  |-  ( Fun  `'  _I  ->  Fun  `' (  _I  |`  A )
)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  `' (  _I  |`  A )
1710, 16jctir 541 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
(  _I  |`  A ) : A --> B  /\  Fun  `' (  _I  |`  A ) ) )
18 df-f1 5587 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B  <->  ( (  _I  |`  A ) : A --> B  /\  Fun  `' (  _I  |`  A )
) )
1917, 18sylibr 216 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )
2019adantr 467 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )
21 f1dom2g 7587 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )  ->  A  ~<_  B )
221, 2, 20, 21syl3anc 1268 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  ~<_  B )
2322expcom 437 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    _I cid 4744   `'ccnv 4833    |` cres 4836   Fun wfun 5576   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581    ~<_ cdom 7567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-dom 7571
This theorem is referenced by:  ssct  7653  undom  7660  xpdom3  7670  domunsncan  7672  0domg  7699  domtriord  7718  sdomel  7719  sdomdif  7720  onsdominel  7721  pwdom  7724  2pwuninel  7727  mapdom1  7737  mapdom3  7744  limenpsi  7747  php  7756  php2  7757  php3  7758  onomeneq  7762  nndomo  7766  sucdom2  7768  unbnn  7827  nnsdomg  7830  fodomfi  7850  fidomdm  7853  pwfilem  7868  hartogslem1  8057  hartogs  8059  card2on  8069  wdompwdom  8093  wdom2d  8095  wdomima2g  8101  unxpwdom2  8103  unxpwdom  8104  harwdom  8105  r1sdom  8245  tskwe  8384  carddomi2  8404  cardsdomelir  8407  cardsdomel  8408  harcard  8412  carduni  8415  cardmin2  8432  infxpenlem  8444  ssnum  8470  acnnum  8483  fodomfi2  8491  inffien  8494  alephordi  8505  dfac12lem2  8574  cdadom3  8618  cdainflem  8621  cdainf  8622  unctb  8635  infunabs  8637  infcda  8638  infdif  8639  infdif2  8640  infmap2  8648  ackbij2  8673  fictb  8675  cfslb  8696  fincssdom  8753  fin67  8825  fin1a2lem12  8841  axcclem  8887  brdom3  8956  brdom5  8957  brdom4  8958  imadomg  8962  ondomon  8988  alephval2  8997  alephadd  9002  alephmul  9003  alephexp1  9004  alephsuc3  9005  alephexp2  9006  alephreg  9007  pwcfsdom  9008  cfpwsdom  9009  canthnum  9074  pwfseqlem5  9088  pwxpndom2  9090  pwcdandom  9092  gchaleph  9096  gchaleph2  9097  gchac  9106  winainflem  9118  gchina  9124  tsksdom  9181  tskinf  9194  inttsk  9199  inar1  9200  inatsk  9203  tskord  9205  tskcard  9206  grudomon  9242  gruina  9243  axgroth2  9250  axgroth6  9253  grothac  9255  hashun2  12562  hashss  12586  hashsslei  12598  isercoll  13731  o1fsum  13873  incexc2  13896  znnen  14265  qnnen  14266  rpnnen  14279  ruc  14295  phicl2  14716  phibnd  14719  4sqlem11  14899  vdwlem11  14941  0ram  14978  mreexdomd  15555  pgpssslw  17266  fislw  17277  cctop  20021  1stcfb  20460  2ndc1stc  20466  1stcrestlem  20467  2ndcctbss  20470  2ndcdisj2  20472  2ndcsep  20474  dis2ndc  20475  csdfil  20909  ufilen  20945  opnreen  21849  rectbntr0  21850  ovolctb2  22445  uniiccdif  22535  dyadmbl  22558  opnmblALT  22561  vitali  22571  mbfimaopnlem  22611  mbfsup  22620  fta1blem  23119  aannenlem3  23286  ppiwordi  24089  musum  24120  ppiub  24132  chpub  24148  dchrisum0re  24351  dirith2  24366  umgraex  25050  konigsberg  25715  rabfodom  28140  abrexdomjm  28141  fnct  28297  dmct  28298  cnvct  28299  mptct  28302  mptctf  28305  locfinreflem  28667  esumcst  28884  omsmeas  29155  omsmeasOLD  29156  sibfof  29173  subfaclefac  29899  erdszelem10  29923  snmlff  30052  finminlem  30974  phpreu  31929  poimirlem26  31966  mblfinlem1  31977  abrexdom  32057  heiborlem3  32145  ctbnfien  35661  pellexlem4  35676  pellexlem5  35677  ttac  35891  idomodle  36070  idomsubgmo  36072  uzct  37404  upgrex  39184  aacllem  40593
  Copyright terms: Public domain W3C validator