Theorem ssdom2g 5468

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
ssdom2g	|- (B e. C -> (A C_ B -> A ~<_ B))

Proof of Theorem ssdom2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 3457	. . 3 |- ((A C_ B /\ B e. C) -> A e. _V)
2	1	expcom 403	. 2 |- (B e. C -> (A C_ B -> A e. _V))
3		ssdomg 5467	. 2 |- (A e. _V -> (A C_ B -> A ~<_ B))
4	2, 3	syli 65	1 |- (B e. C -> (A C_ B -> A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   ~<_ cdom 5424

This theorem is referenced by:  undom 5497  pwuninel 5550  2pwuninel 5551  limenpsi 5599  php 5607  php2 5608  php3 5609  onomeneq 5612  0sdom1dom 5618  brdom3 5963  brdom5 5964  brdom4 5965  imadomg 5968  cardsdomel 6004  xpnnen 8768  ruc 8818  infdif 8837  infdif2 8838  alephadd 8851  alephmul 8852  alephexp1 8853  alephsuc3 8854  alephexp2 8855  cctop 8922  sndw 14428  intrtael 15256  carinttar 15279  abrexdom 15739

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427  df-dom 5428

Copyright terms: Public domain