Theorem ssdif0 2934

Description: Subclass expressed in terms of difference. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 22.

Assertion

Ref	Expression
ssdif0	|- (A C_ B <-> (A \ B) = (/))

Proof of Theorem ssdif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iman 256	. . . 4 |- ((x e. A -> x e. B) <-> -. (x e. A /\ -. x e. B))
2		eldif 2609	. . . . 5 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
3	2	notbii 204	. . . 4 |- (-. x e. (A \ B) <-> -. (x e. A /\ -. x e. B))
4	1, 3	bitr4i 193	. . 3 |- ((x e. A -> x e. B) <-> -. x e. (A \ B))
5	4	albii 1346	. 2 |- (A.x(x e. A -> x e. B) <-> A.x -. x e. (A \ B))
6		dfss2 2610	. 2 |- (A C_ B <-> A.x(x e. A -> x e. B))
7		eq0 2889	. 2 |- ((A \ B) = (/) <-> A.x -. x e. (A \ B))
8	5, 6, 7	3bitr4i 200	1 |- (A C_ B <-> (A \ B) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   \ cdif 2590   C_ wss 2593  (/)c0 2875

This theorem is referenced by:  vdif0 2935  pssdifn0 2936  difid 2942  difin0 2946  tfi 3937  peano5 3975  dffv2 4734  tz7.49 5168  oe0m1 5205  php3 5609  0ntr 8978  bcthlem10 9286  strlem1 11822  wfi 13915  frind 13939  wfrlem8 13964  wfrlem16 13972  rcfpfillem2 14929  clindistop 14962  dfcon2 15442  ufinffr 15578  inficl 15757  zornn0 15764  frfi 15771  fdc 15812  ordintdif 16440

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876

Copyright terms: Public domain