Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssctr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ssctr 15730
 Description: The subcategory subset relation is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
ssctr cat cat cat

Proof of Theorem ssctr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . . . 5 cat cat cat
2 eqidd 2452 . . . . 5 cat cat
31, 2sscfn1 15722 . . . 4 cat cat
4 eqidd 2452 . . . . 5 cat cat
51, 4sscfn2 15723 . . . 4 cat cat
63, 5, 1ssc1 15726 . . 3 cat cat
7 simpr 463 . . . . 5 cat cat cat
8 eqidd 2452 . . . . 5 cat cat
97, 8sscfn2 15723 . . . 4 cat cat
105, 9, 7ssc1 15726 . . 3 cat cat
116, 10sstrd 3442 . 2 cat cat
123adantr 467 . . . . 5 cat cat
131adantr 467 . . . . 5 cat cat cat
14 simprl 764 . . . . 5 cat cat
15 simprr 766 . . . . 5 cat cat
1612, 13, 14, 15ssc2 15727 . . . 4 cat cat
175adantr 467 . . . . 5 cat cat
187adantr 467 . . . . 5 cat cat cat
196adantr 467 . . . . . 6 cat cat
2019, 14sseldd 3433 . . . . 5 cat cat
2119, 15sseldd 3433 . . . . 5 cat cat
2217, 18, 20, 21ssc2 15727 . . . 4 cat cat
2316, 22sstrd 3442 . . 3 cat cat
2423ralrimivva 2809 . 2 cat cat
25 sscrel 15718 . . . . . 6 cat
2625brrelex2i 4876 . . . . 5 cat
2726adantl 468 . . . 4 cat cat
28 dmexg 6724 . . . 4
29 dmexg 6724 . . . 4
3027, 28, 293syl 18 . . 3 cat cat
313, 9, 30isssc 15725 . 2 cat cat cat
3211, 24, 31mpbir2and 933 1 cat cat cat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045   wss 3404   class class class wbr 4402   cxp 4832   cdm 4834   wfn 5577  (class class class)co 6290   cat cssc 15712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-ixp 7523  df-ssc 15715 This theorem is referenced by:  subsubc  15758
 Copyright terms: Public domain W3C validator