Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscpwex Structured version   Unicode version

Theorem sscpwex 14724
 Description: An analogue of pwex 4472 for the subcategory subset relation: The collection of subcategory subsets of a given set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
sscpwex cat
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem sscpwex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6115 . 2
2 brssc 14723 . . . 4 cat
3 simpl 454 . . . . . . . . . 10
4 vex 2973 . . . . . . . . . . 11
54, 4xpex 6507 . . . . . . . . . 10
6 fnex 5941 . . . . . . . . . 10
73, 5, 6sylancl 657 . . . . . . . . 9
8 rnexg 6509 . . . . . . . . 9
9 uniexg 6376 . . . . . . . . 9
10 pwexg 4473 . . . . . . . . 9
117, 8, 9, 104syl 21 . . . . . . . 8
12 fndm 5507 . . . . . . . . . 10
1312adantr 462 . . . . . . . . 9
1413, 5syl6eqel 2529 . . . . . . . 8
15 ss2ixp 7272 . . . . . . . . . . 11
16 fvssunirn 5710 . . . . . . . . . . . . 13
17 sspwb 4538 . . . . . . . . . . . . 13
1816, 17mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11
2015, 19mprg 2783 . . . . . . . . . 10
21 simprr 751 . . . . . . . . . 10
2220, 21sseldi 3351 . . . . . . . . 9
23 vex 2973 . . . . . . . . . 10
2423elixpconst 7267 . . . . . . . . 9
2522, 24sylib 196 . . . . . . . 8
26 elpwi 3866 . . . . . . . . . . 11
2726ad2antrl 722 . . . . . . . . . 10
28 xpss12 4941 . . . . . . . . . 10
2927, 27, 28syl2anc 656 . . . . . . . . 9
3029, 13sseqtr4d 3390 . . . . . . . 8
31 elpm2r 7226 . . . . . . . 8
3211, 14, 25, 30, 31syl22anc 1214 . . . . . . 7
3332rexlimdvaa 2840 . . . . . 6
3433imp 429 . . . . 5
3534exlimiv 1693 . . . 4
362, 35sylbi 195 . . 3 cat
3736abssi 3424 . 2 cat
381, 37ssexi 4434 1 cat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 369   wceq 1364  wex 1591   wcel 1761  cab 2427  wrex 2714  cvv 2970   wss 3325  cpw 3857  cuni 4088   class class class wbr 4289   cxp 4834   cdm 4836   crn 4837   wfn 5410  wf 5411  cfv 5415  (class class class)co 6090   cpm 7211  cixp 7259   cat cssc 14716 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-ssc 14719 This theorem is referenced by:  issubc  14744
 Copyright terms: Public domain W3C validator