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Theorem ssconb 3620
Description: Contraposition law for subsets. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssconb  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A  C_  ( C  \  B )  <->  B  C_  ( C  \  A ) ) )

Proof of Theorem ssconb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3481 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  C  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  C )
)
2 ssel 3481 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  C  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  C )
)
3 pm5.1 855 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
41, 2, 3syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
5 con2b 334 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A ) )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B )  <->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A ) ) )
74, 6anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  (
x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  B  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A
) ) ) )
8 jcab 861 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
) ) )
9 jcab 861 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  -> 
( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
) )  <->  ( (
x  e.  B  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A
) ) )
107, 8, 93bitr4g 288 . . . 4  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B ) )  <->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A )
) ) )
11 eldif 3469 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  \  B )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B ) )
1211imbi2i 312 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B )
) )
13 eldif 3469 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
1413imbi2i 312 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  ->  x  e.  ( C  \  A ) )  <->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A )
) )
1510, 12, 143bitr4g 288 . . 3  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( C  \  A ) ) ) )
1615albidv 1698 . 2  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A. x ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  A. x
( x  e.  B  ->  x  e.  ( C 
\  A ) ) ) )
17 dfss2 3476 . 2  |-  ( A 
C_  ( C  \  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  ( C 
\  B ) ) )
18 dfss2 3476 . 2  |-  ( B 
C_  ( C  \  A )  <->  A. x
( x  e.  B  ->  x  e.  ( C 
\  A ) ) )
1916, 17, 183bitr4g 288 1  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A  C_  ( C  \  B )  <->  B  C_  ( C  \  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1379    e. wcel 1802    \ cdif 3456    C_ wss 3459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-v 3095  df-dif 3462  df-in 3466  df-ss 3473
This theorem is referenced by:  pssdifcom1  3896  pssdifcom2  3897  sbthlem1  7626  sbthlem2  7627  rpnnen2lem11  13832  setscom  14536  dpjidcl  16978  dpjidclOLD  16985  clsval2  19421  regsep2  19747  ordtconlem1  27776  conss2  31303
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