Theorem ssconb 3623

Description: Contraposition law for subsets. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ssconb	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A C_ ( C \ B ) <-> B C_ ( C \ A ) ) )

Proof of Theorem ssconb

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3483	. . . . . . 7 |- ( A C_ C -> ( x e. A -> x e. C ) )
2		ssel 3483	. . . . . . 7 |- ( B C_ C -> ( x e. B -> x e. C ) )
3		pm5.1 855	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) -> ( ( x e. A -> x e. C ) <-> ( x e. B -> x e. C ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 475	. . . . . 6 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> x e. C ) <-> ( x e. B -> x e. C ) ) )
5		con2b 332	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> ( x e. B -> -. x e. A ) )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> ( x e. B -> -. x e. A ) ) )
7	4, 6	anbi12d 708	. . . . 5 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. A -> -. x e. B ) ) <-> ( ( x e. B -> x e. C ) /\ ( x e. B -> -. x e. A ) ) ) )
8		jcab 861	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. A -> -. x e. B ) ) )
9		jcab 861	. . . . 5 |- ( ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) <-> ( ( x e. B -> x e. C ) /\ ( x e. B -> -. x e. A ) ) )
10	7, 8, 9	3bitr4g 288	. . . 4 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) <-> ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) ) )
11		eldif 3471	. . . . 5 |- ( x e. ( C \ B ) <-> ( x e. C /\ -. x e. B ) )
12	11	imbi2i 310	. . . 4 |- ( ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) )
13		eldif 3471	. . . . 5 |- ( x e. ( C \ A ) <-> ( x e. C /\ -. x e. A ) )
14	13	imbi2i 310	. . . 4 |- ( ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) <-> ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) )
15	10, 12, 14	3bitr4g 288	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) ) )
16	15	albidv 1718	. 2 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A. x ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> A. x ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) ) )
17		dfss2 3478	. 2 |- ( A C_ ( C \ B ) <-> A. x ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) )
18		dfss2 3478	. 2 |- ( B C_ ( C \ A ) <-> A. x ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) )
19	16, 17, 18	3bitr4g 288	1 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A C_ ( C \ B ) <-> B C_ ( C \ A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1396   e. wcel 1823   \ cdif 3458   C_ wss 3461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-v 3108  df-dif 3464  df-in 3468  df-ss 3475

This theorem is referenced by:  pssdifcom1  3901  pssdifcom2  3902  sbthlem1  7620  sbthlem2  7621  rpnnen2lem11  14042  setscom  14748  dpjidcl  17302  dpjidclOLD  17309  clsval2  19718  regsep2  20044  ordtconlem1  28141  conss2  31593