Theorem ssconb 3573

Description: Contraposition law for subsets. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ssconb	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A C_ ( C \ B ) <-> B C_ ( C \ A ) ) )

Proof of Theorem ssconb

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3434	. . . . . . 7 |- ( A C_ C -> ( x e. A -> x e. C ) )
2		ssel 3434	. . . . . . 7 |- ( B C_ C -> ( x e. B -> x e. C ) )
3		pm5.1 853	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) -> ( ( x e. A -> x e. C ) <-> ( x e. B -> x e. C ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> x e. C ) <-> ( x e. B -> x e. C ) ) )
5		con2b 334	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> ( x e. B -> -. x e. A ) )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> ( x e. B -> -. x e. A ) ) )
7	4, 6	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. A -> -. x e. B ) ) <-> ( ( x e. B -> x e. C ) /\ ( x e. B -> -. x e. A ) ) ) )
8		jcab 858	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. A -> -. x e. B ) ) )
9		jcab 858	. . . . 5 |- ( ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) <-> ( ( x e. B -> x e. C ) /\ ( x e. B -> -. x e. A ) ) )
10	7, 8, 9	3bitr4g 288	. . . 4 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) <-> ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) ) )
11		eldif 3422	. . . . 5 |- ( x e. ( C \ B ) <-> ( x e. C /\ -. x e. B ) )
12	11	imbi2i 312	. . . 4 |- ( ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) )
13		eldif 3422	. . . . 5 |- ( x e. ( C \ A ) <-> ( x e. C /\ -. x e. A ) )
14	13	imbi2i 312	. . . 4 |- ( ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) <-> ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) )
15	10, 12, 14	3bitr4g 288	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) ) )
16	15	albidv 1680	. 2 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A. x ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> A. x ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) ) )
17		dfss2 3429	. 2 |- ( A C_ ( C \ B ) <-> A. x ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) )
18		dfss2 3429	. 2 |- ( B C_ ( C \ A ) <-> A. x ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) )
19	16, 17, 18	3bitr4g 288	1 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A C_ ( C \ B ) <-> B C_ ( C \ A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   e. wcel 1757   \ cdif 3409   C_ wss 3412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-v 3056  df-dif 3415  df-in 3419  df-ss 3426

This theorem is referenced by:  pssdifcom1  3848  pssdifcom2  3849  sbthlem1  7507  sbthlem2  7508  rpnnen2lem11  13595  setscom  14292  dpjidcl  16648  dpjidclOLD  16655  clsval2  18756  regsep2  19082  ordtconlem1  26474  conss2  29823