MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscntz Structured version   Unicode version

Theorem sscntz 16500
Description: A centralizer expression for two sets elementwise commuting. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
cntzfval.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
sscntz  |-  ( ( S  C_  B  /\  T  C_  B )  -> 
( S  C_  ( Z `  T )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  T  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, B    x, M, y    x, T, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( y)    Z( x, y)

Proof of Theorem sscntz
StepHypRef Expression
1 cntzfval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 cntzfval.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  M )
3 cntzfval.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  M )
41, 2, 3cntzval 16495 . . . 4  |-  ( T 
C_  B  ->  ( Z `  T )  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  T  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) } )
54sseq2d 3458 . . 3  |-  ( T 
C_  B  ->  ( S  C_  ( Z `  T )  <->  S  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  T  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) } ) )
6 ssrab 3505 . . 3  |-  ( S 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  T  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) }  <->  ( S  C_  B  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  T  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) ) )
75, 6syl6bb 261 . 2  |-  ( T 
C_  B  ->  ( S  C_  ( Z `  T )  <->  ( S  C_  B  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  T  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) ) ) )
8 ibar 502 . . 3  |-  ( S 
C_  B  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  T  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x )  <->  ( S  C_  B  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  T  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) ) ) )
98bicomd 201 . 2  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( S  C_  B  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  T  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  T  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) ) )
107, 9sylan9bbr 698 1  |-  ( ( S  C_  B  /\  T  C_  B )  -> 
( S  C_  ( Z `  T )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  T  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399   A.wral 2742   {crab 2746    C_ wss 3402   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   Basecbs 14653   +g cplusg 14721  Cntzccntz 16489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-id 4722  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-ov 6217  df-cntz 16491
This theorem is referenced by:  cntz2ss  16506  cntzrec  16507  submcmn2  16983  mplcoe5lem  18262
  Copyright terms: Public domain W3C validator