Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscmp Structured version   Unicode version

Theorem sscmp 20031
 Description: A subset of a compact topology (i.e. a coarser topology) is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sscmp.1
Assertion
Ref Expression
sscmp TopOn

Proof of Theorem sscmp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 19553 . . 3 TopOn
213ad2ant1 1017 . 2 TopOn
3 elpwi 4024 . . . 4
4 simpl2 1000 . . . . . . 7 TopOn
5 simprl 756 . . . . . . . 8 TopOn
6 simpl3 1001 . . . . . . . 8 TopOn
75, 6sstrd 3509 . . . . . . 7 TopOn
8 simpl1 999 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
9 toponuni 19554 . . . . . . . . 9 TopOn
108, 9syl 16 . . . . . . . 8 TopOn
11 simprr 757 . . . . . . . 8 TopOn
1210, 11eqtrd 2498 . . . . . . 7 TopOn
13 sscmp.1 . . . . . . . 8
1413cmpcov 20015 . . . . . . 7
154, 7, 12, 14syl3anc 1228 . . . . . 6 TopOn
1610eqeq1d 2459 . . . . . . 7 TopOn
1716rexbidv 2968 . . . . . 6 TopOn
1815, 17mpbid 210 . . . . 5 TopOn
1918expr 615 . . . 4 TopOn
203, 19sylan2 474 . . 3 TopOn
2120ralrimiva 2871 . 2 TopOn
22 eqid 2457 . . 3
2322iscmp 20014 . 2
242, 21, 23sylanbrc 664 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808   cin 3470   wss 3471  cpw 4015  cuni 4251  cfv 5594  cfn 7535  ctop 19520  TopOnctopon 19521  ccmp 20012 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-topon 19528  df-cmp 20013 This theorem is referenced by:  kgencmp2  20172  kgen2ss  20181
 Copyright terms: Public domain W3C validator