MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscls Structured version   Unicode version

Theorem sscls 19642
Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
sscls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )

Proof of Theorem sscls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4217 . 2  |-  S  C_  |^|
{ x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }
2 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
32clsval 19623 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
41, 3syl5sseqr 3466 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   {crab 2736    C_ wss 3389   U.cuni 4163   |^|cint 4199   ` cfv 5496   Topctop 19479   Clsdccld 19602   clsccl 19604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-top 19484  df-cld 19605  df-cls 19607
This theorem is referenced by:  iscld4  19652  elcls  19660  ntrcls0  19663  clslp  19735  restcls  19768  cncls2i  19857  nrmsep  19944  lpcls  19951  regsep2  19963  hauscmplem  19992  hauscmp  19993  clscon  20016  concompcld  20020  hausllycmp  20080  txcls  20190  ptclsg  20201  regr1lem  20325  kqreglem1  20327  kqreglem2  20328  kqnrmlem1  20329  kqnrmlem2  20330  fclscmpi  20615  clssubg  20692  tsmsid  20723  tsmsidOLD  20726  cnllycmp  21541  clsocv  21775  relcmpcmet  21840  bcthlem2  21849  bcthlem4  21851  limcnlp  22367  opnbnd  30309  opnregcld  30314  cldregopn  30315  heibor1lem  30471  heiborlem8  30480
  Copyright terms: Public domain W3C validator