MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscls Structured version   Unicode version

Theorem sscls 19318
Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
sscls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )

Proof of Theorem sscls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4295 . 2  |-  S  C_  |^|
{ x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }
2 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
32clsval 19299 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
41, 3syl5sseqr 3548 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2813    C_ wss 3471   U.cuni 4240   |^|cint 4277   ` cfv 5581   Topctop 19156   Clsdccld 19278   clsccl 19280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-top 19161  df-cld 19281  df-cls 19283
This theorem is referenced by:  iscld4  19327  elcls  19335  ntrcls0  19338  clslp  19410  restcls  19443  cncls2i  19532  nrmsep  19619  lpcls  19626  regsep2  19638  hauscmplem  19667  hauscmp  19668  clscon  19692  concompcld  19696  hausllycmp  19756  txcls  19835  ptclsg  19846  regr1lem  19970  kqreglem1  19972  kqreglem2  19973  kqnrmlem1  19974  kqnrmlem2  19975  fclscmpi  20260  clssubg  20337  tsmsid  20368  tsmsidOLD  20371  cnllycmp  21186  clsocv  21420  relcmpcmet  21485  bcthlem2  21494  bcthlem4  21496  limcnlp  22012  opnbnd  29709  opnregcld  29714  cldregopn  29715  heibor1lem  29897  heiborlem8  29906
  Copyright terms: Public domain W3C validator