Theorem sscls 8965

Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
sscls	|- ((J e. Top /\ S C_ X) -> S C_ ((cls` J)` S))

Proof of Theorem sscls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 3235	. . 3 |- S C_ |^|{x e. (Clsd` J) | S C_ x}
2	1	a1i 8	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> S C_ |^|{x e. (Clsd` J) | S C_ x})
3		clscld.1	. . 3 |- X = U.J
4	3	clsval 8953	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((cls` J)` S) = |^|{x e. (Clsd` J) | S C_ x})
5	2, 4	sseqtr4d 2654	1 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> S C_ ((cls` J)` S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108   C_ wss 2593  U.cuni 3177  |^|cint 3214  ` cfv 3998  Topctop 8857  Clsdccld 8936  clsccl 8938

This theorem is referenced by:  iscld4 8972  elcls 8980  ntrcls0 8983  clslp 9024  bcthlem28 9304  opnbnd 15409  opnregcld 15415  cldregopn 15416  cncls 15419  subcls 15424  isnrm2 15552  fcluscomplem 15620  heiborlem14 15968

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-cls 8941

Copyright terms: Public domain