MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscls Structured version   Unicode version

Theorem sscls 18502
Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
sscls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )

Proof of Theorem sscls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4134 . 2  |-  S  C_  |^|
{ x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }
2 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
32clsval 18483 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
41, 3syl5sseqr 3393 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   {crab 2709    C_ wss 3316   U.cuni 4079   |^|cint 4116   ` cfv 5406   Topctop 18340   Clsdccld 18462   clsccl 18464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-top 18345  df-cld 18465  df-cls 18467
This theorem is referenced by:  iscld4  18511  elcls  18519  ntrcls0  18522  clslp  18594  restcls  18627  cncls2i  18716  nrmsep  18803  lpcls  18810  regsep2  18822  hauscmplem  18851  hauscmp  18852  clscon  18876  concompcld  18880  hausllycmp  18940  txcls  19019  ptclsg  19030  regr1lem  19154  kqreglem1  19156  kqreglem2  19157  kqnrmlem1  19158  kqnrmlem2  19159  fclscmpi  19444  clssubg  19521  tsmsid  19552  tsmsidOLD  19555  cnllycmp  20370  clsocv  20604  relcmpcmet  20669  bcthlem2  20678  bcthlem4  20680  limcnlp  21195  opnbnd  28364  opnregcld  28369  cldregopn  28370  heibor1lem  28552  heiborlem8  28561
  Copyright terms: Public domain W3C validator