MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscls Structured version   Unicode version

Theorem sscls 18682
Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
sscls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )

Proof of Theorem sscls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4167 . 2  |-  S  C_  |^|
{ x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }
2 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
32clsval 18663 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
41, 3syl5sseqr 3426 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2740    C_ wss 3349   U.cuni 4112   |^|cint 4149   ` cfv 5439   Topctop 18520   Clsdccld 18642   clsccl 18644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-top 18525  df-cld 18645  df-cls 18647
This theorem is referenced by:  iscld4  18691  elcls  18699  ntrcls0  18702  clslp  18774  restcls  18807  cncls2i  18896  nrmsep  18983  lpcls  18990  regsep2  19002  hauscmplem  19031  hauscmp  19032  clscon  19056  concompcld  19060  hausllycmp  19120  txcls  19199  ptclsg  19210  regr1lem  19334  kqreglem1  19336  kqreglem2  19337  kqnrmlem1  19338  kqnrmlem2  19339  fclscmpi  19624  clssubg  19701  tsmsid  19732  tsmsidOLD  19735  cnllycmp  20550  clsocv  20784  relcmpcmet  20849  bcthlem2  20858  bcthlem4  20860  limcnlp  21375  opnbnd  28546  opnregcld  28551  cldregopn  28552  heibor1lem  28734  heiborlem8  28743
  Copyright terms: Public domain W3C validator