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Theorem ssbnd 26387
Description: A subset of a metric space is bounded iff it is contained in a ball around  P, for any  P in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ssbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
ssbnd  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  <->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
Distinct variable groups:    M, d    N, d    P, d    X, d    Y, d

Proof of Theorem ssbnd
Dummy variables  r 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9047 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2 ne0i 3594 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . 6  |-  RR  =/=  (/)
4 0ss 3616 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  ( P ( ball `  M
) d )
5 sseq1 3329 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y 
C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  (/)  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
64, 5mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
76ralrimivw 2750 . . . . . 6  |-  ( Y  =  (/)  ->  A. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
8 r19.2z 3677 . . . . . 6  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
93, 7, 8sylancr 645 . . . . 5  |-  ( Y  =  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( Y  =  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
11 isbnd2 26382 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( Bnd `  Y )  /\  Y  =/=  (/) )  <->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
12 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
13 ssbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
1413dmeqi 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  N  =  dom  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) )
15 dmres 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( Y  X.  Y )  i^i  dom  M )
1614, 15eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  N  =  ( ( Y  X.  Y )  i^i 
dom  M )
17 xmetf 18312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR* )
18 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR*  ->  dom 
N  =  ( Y  X.  Y ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  dom  N  =  ( Y  X.  Y ) )
2016, 19syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  (
( Y  X.  Y
)  i^i  dom  M )  =  ( Y  X.  Y ) )
21 df-ss 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  dom  M  <->  ( ( Y  X.  Y )  i^i 
dom  M )  =  ( Y  X.  Y
) )
2220, 21sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  dom  M )
2322ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  dom  M )
24 metf 18313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
25 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
2726ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
2823, 27sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X ) )
29 dmss 5028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  dom  ( Y  X.  Y
)  C_  dom  ( X  X.  X ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  dom  ( Y  X.  Y )  C_  dom  ( X  X.  X
) )
31 dmxpid 5048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
32 dmxpid 5048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
3330, 31, 323sstr3g 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  Y  C_  X
)
34 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  y  e.  Y
)
3533, 34sseldd 3309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  y  e.  X
)
36 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  P  e.  X
)
37 metcl 18315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
y M P )  e.  RR )
3812, 35, 36, 37syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( y M P )  e.  RR )
39 rpre 10574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
4039ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR )
4138, 40readdcld 9071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( ( y M P )  +  r )  e.  RR )
42 metxmet 18317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
4312, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
44 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( y  e.  X  /\  y  e.  Y ) )
4535, 34, 44sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  y  e.  ( X  i^i  Y ) )
46 rpxr 10575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4746ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR* )
4813blres 18414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y (
ball `  N )
r )  =  ( ( y ( ball `  M ) r )  i^i  Y ) )
4943, 45, 47, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( y (
ball `  N )
r )  =  ( ( y ( ball `  M ) r )  i^i  Y ) )
50 inss1 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ( ball `  M
) r )  i^i 
Y )  C_  (
y ( ball `  M
) r )
5138leidd 9549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( y M P )  <_  (
y M P ) )
5238recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( y M P )  e.  CC )
5340recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  CC )
5452, 53pncand 9368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( ( ( y M P )  +  r )  -  r )  =  ( y M P ) )
5551, 54breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( y M P )  <_  (
( ( y M P )  +  r )  -  r ) )
56 blss2 18387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  /\  ( r  e.  RR  /\  ( ( y M P )  +  r )  e.  RR  /\  ( y M P )  <_ 
( ( ( y M P )  +  r )  -  r
) ) )  -> 
( y ( ball `  M ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
( ( y M P )  +  r ) ) )
5743, 35, 36, 40, 41, 55, 56syl33anc 1199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( y (
ball `  M )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5850, 57syl5ss 3319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( ( y ( ball `  M
) r )  i^i 
Y )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5949, 58eqsstrd 3342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( y (
ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
60 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( ( y M P )  +  r )  ->  ( P ( ball `  M
) d )  =  ( P ( ball `  M ) ( ( y M P )  +  r ) ) )
6160sseq2d 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( ( y M P )  +  r )  ->  (
( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) ) )
6261rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y M P )  +  r )  e.  RR  /\  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
( ( y M P )  +  r ) ) )  ->  E. d  e.  RR  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d ) )
6341, 59, 62syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  E. d  e.  RR  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d ) )
64 sseq1 3329 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  ( Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6564rexbidv 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  ( E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  E. d  e.  RR  ( y (
ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6663, 65syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( Y  =  ( y ( ball `  N ) r )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6766rexlimdvva 2797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6867expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6911, 68syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  e.  ( Bnd `  Y )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
7069expdimp 427 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
7110, 70pm2.61dne 2644 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
7271ex 424 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
73 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
74 xpss12 4940 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  ( P
( ball `  M )
d )  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
7573, 73, 74syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
76 resabs1 5134 . . . . . 6  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
7775, 76syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
7877, 13syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  N )
79 blbnd 26386 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
8042, 79syl3an1 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
81803expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
8281adantrr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
83 bndss 26385 . . . . 5  |-  ( ( ( M  |`  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M
) d ) )  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Bnd `  Y
) )
8482, 73, 83syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Bnd `  Y
) )
8578, 84eqeltrrd 2479 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) )
8685rexlimdvaa 2791 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  ->  N  e.  ( Bnd `  Y
) ) )
8772, 86impbid 184 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  <->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   dom cdm 4837    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949   RR*cxr 9075    <_ cle 9077    - cmin 9247   RR+crp 10568   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   ballcbl 16643   Bndcbnd 26366
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  26394  cntotbnd  26395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-bnd 26378
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