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Theorem ssbnd 30489
Description: A subset of a metric space is bounded iff it is contained in a ball around  P, for any  P in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ssbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
ssbnd  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  <->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
Distinct variable groups:    M, d    N, d    P, d    X, d    Y, d

Proof of Theorem ssbnd
Dummy variables  r 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9613 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
21ne0ii 3800 . . . . . 6  |-  RR  =/=  (/)
3 0ss 3823 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  ( P ( ball `  M
) d )
4 sseq1 3520 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y 
C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  (/)  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
53, 4mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
65ralrimivw 2872 . . . . . 6  |-  ( Y  =  (/)  ->  A. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
7 r19.2z 3921 . . . . . 6  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
82, 6, 7sylancr 663 . . . . 5  |-  ( Y  =  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( Y  =  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
10 isbnd2 30484 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( Bnd `  Y )  /\  Y  =/=  (/) )  <->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) )
11 simplll 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
12 ssbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
1312dmeqi 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  N  =  dom  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) )
14 dmres 5304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( Y  X.  Y )  i^i  dom  M )
1513, 14eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  N  =  ( ( Y  X.  Y )  i^i 
dom  M )
16 xmetf 20958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR* )
17 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR*  ->  dom 
N  =  ( Y  X.  Y ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  dom  N  =  ( Y  X.  Y ) )
1915, 18syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
( Y  X.  Y
)  i^i  dom  M )  =  ( Y  X.  Y ) )
20 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  dom  M  <->  ( ( Y  X.  Y )  i^i 
dom  M )  =  ( Y  X.  Y
) )
2119, 20sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  dom  M )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  dom  M )
23 metf 20959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
24 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
2722, 26sseqtrd 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X ) )
28 dmss 5212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  dom  ( Y  X.  Y
)  C_  dom  ( X  X.  X ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  dom  ( Y  X.  Y )  C_  dom  ( X  X.  X
) )
30 dmxpid 5232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
31 dmxpid 5232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
3229, 30, 313sstr3g 3539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  Y  C_  X
)
33 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  Y )
3432, 33sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  X )
35 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  P  e.  X )
36 metcl 20961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
y M P )  e.  RR )
3711, 34, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  e.  RR )
38 rpre 11251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
3938ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR )
4037, 39readdcld 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
y M P )  +  r )  e.  RR )
41 metxmet 20963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
4211, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
4334, 33elind 3684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  ( X  i^i  Y ) )
44 rpxr 11252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4544ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR* )
4612blres 21060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y (
ball `  N )
r )  =  ( ( y ( ball `  M ) r )  i^i  Y ) )
4742, 43, 45, 46syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  N )
r )  =  ( ( y ( ball `  M ) r )  i^i  Y ) )
48 inss1 3714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ( ball `  M
) r )  i^i 
Y )  C_  (
y ( ball `  M
) r )
4937leidd 10140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  <_  (
y M P ) )
5037recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  e.  CC )
5139recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  CC )
5250, 51pncand 9951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( y M P )  +  r )  -  r )  =  ( y M P ) )
5349, 52breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  <_  (
( ( y M P )  +  r )  -  r ) )
54 blss2 21033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  /\  ( r  e.  RR  /\  ( ( y M P )  +  r )  e.  RR  /\  ( y M P )  <_ 
( ( ( y M P )  +  r )  -  r
) ) )  -> 
( y ( ball `  M ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
( ( y M P )  +  r ) ) )
5542, 34, 35, 39, 40, 53, 54syl33anc 1243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  M )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5648, 55syl5ss 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
y ( ball `  M
) r )  i^i 
Y )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5747, 56eqsstrd 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
58 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( ( y M P )  +  r )  ->  ( P ( ball `  M
) d )  =  ( P ( ball `  M ) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5958sseq2d 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( ( y M P )  +  r )  ->  (
( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) ) )
6059rspcev 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y M P )  +  r )  e.  RR  /\  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
( ( y M P )  +  r ) ) )  ->  E. d  e.  RR  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d ) )
6140, 57, 60syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  E. d  e.  RR  ( y (
ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
62 sseq1 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  ( Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6362rexbidv 2968 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  ( E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  E. d  e.  RR  ( y (
ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6461, 63syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6564rexlimdvva 2956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6665expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6710, 66syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  e.  ( Bnd `  Y )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6867expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
699, 68pm2.61dne 2774 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
7069ex 434 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
71 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
72 xpss12 5117 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  ( P
( ball `  M )
d )  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
7371, 71, 72syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
7473resabs1d 5313 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
7574, 12syl6eqr 2516 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  N )
76 blbnd 30488 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
7741, 76syl3an1 1261 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
78773expa 1196 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
7978adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
80 bndss 30487 . . . . 5  |-  ( ( ( M  |`  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M
) d ) )  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Bnd `  Y
) )
8179, 71, 80syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Bnd `  Y
) )
8275, 81eqeltrrd 2546 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) )
8382rexlimdvaa 2950 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  ->  N  e.  ( Bnd `  Y
) ) )
8470, 83impbid 191 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  <->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   dom cdm 5008    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512   RR*cxr 9644    <_ cle 9646    - cmin 9824   RR+crp 11245   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   ballcbl 18532   Bndcbnd 30468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-bnd 30480
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  30496  cntotbnd  30497
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