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Theorem ssbnd 32120
Description: A subset of a metric space is bounded iff it is contained in a ball around  P, for any  P in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ssbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
ssbnd  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  <->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
Distinct variable groups:    M, d    N, d    P, d    X, d    Y, d

Proof of Theorem ssbnd
Dummy variables  r 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9643 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
21ne0ii 3738 . . . . . 6  |-  RR  =/=  (/)
3 0ss 3763 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  ( P ( ball `  M
) d )
4 sseq1 3453 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y 
C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  (/)  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
53, 4mpbiri 237 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
65ralrimivw 2803 . . . . . 6  |-  ( Y  =  (/)  ->  A. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
7 r19.2z 3858 . . . . . 6  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
82, 6, 7sylancr 669 . . . . 5  |-  ( Y  =  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( Y  =  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
10 isbnd2 32115 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( Bnd `  Y )  /\  Y  =/=  (/) )  <->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) )
11 simplll 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
12 ssbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
1312dmeqi 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  N  =  dom  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) )
14 dmres 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( Y  X.  Y )  i^i  dom  M )
1513, 14eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  N  =  ( ( Y  X.  Y )  i^i 
dom  M )
16 xmetf 21344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR* )
17 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR*  ->  dom 
N  =  ( Y  X.  Y ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  dom  N  =  ( Y  X.  Y ) )
1915, 18syl5eqr 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
( Y  X.  Y
)  i^i  dom  M )  =  ( Y  X.  Y ) )
20 df-ss 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  dom  M  <->  ( ( Y  X.  Y )  i^i 
dom  M )  =  ( Y  X.  Y
) )
2119, 20sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  dom  M )
2221ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  dom  M )
23 metf 21345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
24 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
2625ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
2722, 26sseqtrd 3468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X ) )
28 dmss 5034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  dom  ( Y  X.  Y
)  C_  dom  ( X  X.  X ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  dom  ( Y  X.  Y )  C_  dom  ( X  X.  X
) )
30 dmxpid 5054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
31 dmxpid 5054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
3229, 30, 313sstr3g 3472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  Y  C_  X
)
33 simprl 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  Y )
3432, 33sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  X )
35 simpllr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  P  e.  X )
36 metcl 21347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
y M P )  e.  RR )
3711, 34, 35, 36syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  e.  RR )
38 rpre 11308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
3938ad2antll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR )
4037, 39readdcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
y M P )  +  r )  e.  RR )
41 metxmet 21349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
4211, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
4334, 33elind 3618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  ( X  i^i  Y ) )
44 rpxr 11309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4544ad2antll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR* )
4612blres 21446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y (
ball `  N )
r )  =  ( ( y ( ball `  M ) r )  i^i  Y ) )
4742, 43, 45, 46syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  N )
r )  =  ( ( y ( ball `  M ) r )  i^i  Y ) )
48 inss1 3652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ( ball `  M
) r )  i^i 
Y )  C_  (
y ( ball `  M
) r )
4937leidd 10180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  <_  (
y M P ) )
5037recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  e.  CC )
5139recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  CC )
5250, 51pncand 9987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( y M P )  +  r )  -  r )  =  ( y M P ) )
5349, 52breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  <_  (
( ( y M P )  +  r )  -  r ) )
54 blss2 21419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  /\  ( r  e.  RR  /\  ( ( y M P )  +  r )  e.  RR  /\  ( y M P )  <_ 
( ( ( y M P )  +  r )  -  r
) ) )  -> 
( y ( ball `  M ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
( ( y M P )  +  r ) ) )
5542, 34, 35, 39, 40, 53, 54syl33anc 1283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  M )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5648, 55syl5ss 3443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
y ( ball `  M
) r )  i^i 
Y )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5747, 56eqsstrd 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
58 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( ( y M P )  +  r )  ->  ( P ( ball `  M
) d )  =  ( P ( ball `  M ) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5958sseq2d 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( ( y M P )  +  r )  ->  (
( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) ) )
6059rspcev 3150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y M P )  +  r )  e.  RR  /\  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
( ( y M P )  +  r ) ) )  ->  E. d  e.  RR  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d ) )
6140, 57, 60syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  E. d  e.  RR  ( y (
ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
62 sseq1 3453 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  ( Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6362rexbidv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  ( E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  E. d  e.  RR  ( y (
ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6461, 63syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6564rexlimdvva 2886 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6665expimpd 608 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6710, 66syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  e.  ( Bnd `  Y )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6867expdimp 439 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
699, 68pm2.61dne 2710 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
7069ex 436 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
71 simprr 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
72 xpss12 4940 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  ( P
( ball `  M )
d )  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
7371, 71, 72syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
7473resabs1d 5134 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
7574, 12syl6eqr 2503 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  N )
76 blbnd 32119 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
7741, 76syl3an1 1301 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
78773expa 1208 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
7978adantrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
80 bndss 32118 . . . . 5  |-  ( ( ( M  |`  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M
) d ) )  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Bnd `  Y
) )
8179, 71, 80syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Bnd `  Y
) )
8275, 81eqeltrrd 2530 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) )
8382rexlimdvaa 2880 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  ->  N  e.  ( Bnd `  Y
) ) )
8470, 83impbid 194 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  <->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402    X. cxp 4832   dom cdm 4834    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542   RR*cxr 9674    <_ cle 9676    - cmin 9860   RR+crp 11302   *Metcxmt 18955   Metcme 18956   ballcbl 18957   Bndcbnd 32099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-ec 7365  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-bnd 32111
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  32127  cntotbnd  32128
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