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Theorem ssbnd 28612
Description: A subset of a metric space is bounded iff it is contained in a ball around  P, for any  P in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ssbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
ssbnd  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  <->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
Distinct variable groups:    M, d    N, d    P, d    X, d    Y, d

Proof of Theorem ssbnd
Dummy variables  r 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9382 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2 ne0i 3640 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  RR  =/=  (/)
4 0ss 3663 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  ( P ( ball `  M
) d )
5 sseq1 3374 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y 
C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  (/)  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
64, 5mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
76ralrimivw 2798 . . . . . 6  |-  ( Y  =  (/)  ->  A. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
8 r19.2z 3766 . . . . . 6  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
93, 7, 8sylancr 658 . . . . 5  |-  ( Y  =  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( Y  =  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
11 isbnd2 28607 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( Bnd `  Y )  /\  Y  =/=  (/) )  <->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) )
12 simplll 752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
13 ssbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
1413dmeqi 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  N  =  dom  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) )
15 dmres 5128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( Y  X.  Y )  i^i  dom  M )
1614, 15eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  N  =  ( ( Y  X.  Y )  i^i 
dom  M )
17 xmetf 19863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR* )
18 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR*  ->  dom 
N  =  ( Y  X.  Y ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  dom  N  =  ( Y  X.  Y ) )
2016, 19syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
( Y  X.  Y
)  i^i  dom  M )  =  ( Y  X.  Y ) )
21 df-ss 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  dom  M  <->  ( ( Y  X.  Y )  i^i 
dom  M )  =  ( Y  X.  Y
) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  dom  M )
2322ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  dom  M )
24 metf 19864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
25 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
2726ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
2823, 27sseqtrd 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X ) )
29 dmss 5035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  dom  ( Y  X.  Y
)  C_  dom  ( X  X.  X ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  dom  ( Y  X.  Y )  C_  dom  ( X  X.  X
) )
31 dmxpid 5055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
32 dmxpid 5055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
3330, 31, 323sstr3g 3393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  Y  C_  X
)
34 simprl 750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  Y )
3533, 34sseldd 3354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  X )
36 simpllr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  P  e.  X )
37 metcl 19866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
y M P )  e.  RR )
3812, 35, 36, 37syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  e.  RR )
39 rpre 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
4039ad2antll 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR )
4138, 40readdcld 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
y M P )  +  r )  e.  RR )
42 metxmet 19868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
4312, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
4435, 34elind 3537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  ( X  i^i  Y ) )
45 rpxr 10994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4645ad2antll 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR* )
4713blres 19965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y (
ball `  N )
r )  =  ( ( y ( ball `  M ) r )  i^i  Y ) )
4843, 44, 46, 47syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  N )
r )  =  ( ( y ( ball `  M ) r )  i^i  Y ) )
49 inss1 3567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ( ball `  M
) r )  i^i 
Y )  C_  (
y ( ball `  M
) r )
5038leidd 9902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  <_  (
y M P ) )
5138recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  e.  CC )
5240recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  CC )
5351, 52pncand 9716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( y M P )  +  r )  -  r )  =  ( y M P ) )
5450, 53breqtrrd 4315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  <_  (
( ( y M P )  +  r )  -  r ) )
55 blss2 19938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  /\  ( r  e.  RR  /\  ( ( y M P )  +  r )  e.  RR  /\  ( y M P )  <_ 
( ( ( y M P )  +  r )  -  r
) ) )  -> 
( y ( ball `  M ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
( ( y M P )  +  r ) ) )
5643, 35, 36, 40, 41, 54, 55syl33anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  M )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5749, 56syl5ss 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
y ( ball `  M
) r )  i^i 
Y )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5848, 57eqsstrd 3387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
59 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( ( y M P )  +  r )  ->  ( P ( ball `  M
) d )  =  ( P ( ball `  M ) ( ( y M P )  +  r ) ) )
6059sseq2d 3381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( ( y M P )  +  r )  ->  (
( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) ) )
6160rspcev 3070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y M P )  +  r )  e.  RR  /\  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
( ( y M P )  +  r ) ) )  ->  E. d  e.  RR  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d ) )
6241, 58, 61syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  E. d  e.  RR  ( y (
ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
63 sseq1 3374 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  ( Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6463rexbidv 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  ( E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  E. d  e.  RR  ( y (
ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6562, 64syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6665rexlimdvva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6766expimpd 600 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6811, 67syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  e.  ( Bnd `  Y )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6968expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
7010, 69pm2.61dne 2686 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
7170ex 434 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
72 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
73 xpss12 4941 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  ( P
( ball `  M )
d )  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
7472, 72, 73syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
75 resabs1 5136 . . . . . 6  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
7674, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
7776, 13syl6eqr 2491 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  N )
78 blbnd 28611 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
7942, 78syl3an1 1246 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
80793expa 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
8180adantrr 711 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
82 bndss 28610 . . . . 5  |-  ( ( ( M  |`  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M
) d ) )  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Bnd `  Y
) )
8381, 72, 82syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Bnd `  Y
) )
8477, 83eqeltrrd 2516 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) )
8584rexlimdvaa 2840 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  ->  N  e.  ( Bnd `  Y
) ) )
8671, 85impbid 191 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  <->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289    X. cxp 4834   dom cdm 4836    |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281   RR*cxr 9413    <_ cle 9415    - cmin 9591   RR+crp 10987   *Metcxmt 17760   Metcme 17761   ballcbl 17762   Bndcbnd 28591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7097  df-ec 7099  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-2 10376  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-bnd 28603
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  28619  cntotbnd  28620
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