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Theorem ssbnd 28699
Description: A subset of a metric space is bounded iff it is contained in a ball around  P, for any  P in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ssbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
ssbnd  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  <->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
Distinct variable groups:    M, d    N, d    P, d    X, d    Y, d

Proof of Theorem ssbnd
Dummy variables  r 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9398 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2 ne0i 3655 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  RR  =/=  (/)
4 0ss 3678 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  ( P ( ball `  M
) d )
5 sseq1 3389 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y 
C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  (/)  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
64, 5mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
76ralrimivw 2812 . . . . . 6  |-  ( Y  =  (/)  ->  A. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
8 r19.2z 3781 . . . . . 6  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
93, 7, 8sylancr 663 . . . . 5  |-  ( Y  =  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( Y  =  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
11 isbnd2 28694 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( Bnd `  Y )  /\  Y  =/=  (/) )  <->  ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) )
12 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
13 ssbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
1413dmeqi 5053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  N  =  dom  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) )
15 dmres 5143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( Y  X.  Y )  i^i  dom  M )
1614, 15eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  N  =  ( ( Y  X.  Y )  i^i 
dom  M )
17 xmetf 19916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR* )
18 fdm 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR*  ->  dom 
N  =  ( Y  X.  Y ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  dom  N  =  ( Y  X.  Y ) )
2016, 19syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
( Y  X.  Y
)  i^i  dom  M )  =  ( Y  X.  Y ) )
21 df-ss 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  dom  M  <->  ( ( Y  X.  Y )  i^i 
dom  M )  =  ( Y  X.  Y
) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  dom  M )
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  dom  M )
24 metf 19917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
25 fdm 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
2823, 27sseqtrd 3404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X ) )
29 dmss 5051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  dom  ( Y  X.  Y
)  C_  dom  ( X  X.  X ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  dom  ( Y  X.  Y )  C_  dom  ( X  X.  X
) )
31 dmxpid 5071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
32 dmxpid 5071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
3330, 31, 323sstr3g 3408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  Y  C_  X
)
34 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  Y )
3533, 34sseldd 3369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  X )
36 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  P  e.  X )
37 metcl 19919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
y M P )  e.  RR )
3812, 35, 36, 37syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  e.  RR )
39 rpre 11009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
4039ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR )
4138, 40readdcld 9425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
y M P )  +  r )  e.  RR )
42 metxmet 19921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
4312, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
4435, 34elind 3552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  ( X  i^i  Y ) )
45 rpxr 11010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4645ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR* )
4713blres 20018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y (
ball `  N )
r )  =  ( ( y ( ball `  M ) r )  i^i  Y ) )
4843, 44, 46, 47syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  N )
r )  =  ( ( y ( ball `  M ) r )  i^i  Y ) )
49 inss1 3582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ( ball `  M
) r )  i^i 
Y )  C_  (
y ( ball `  M
) r )
5038leidd 9918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  <_  (
y M P ) )
5138recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  e.  CC )
5240recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  CC )
5351, 52pncand 9732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( y M P )  +  r )  -  r )  =  ( y M P ) )
5450, 53breqtrrd 4330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y M P )  <_  (
( ( y M P )  +  r )  -  r ) )
55 blss2 19991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  /\  ( r  e.  RR  /\  ( ( y M P )  +  r )  e.  RR  /\  ( y M P )  <_ 
( ( ( y M P )  +  r )  -  r
) ) )  -> 
( y ( ball `  M ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
( ( y M P )  +  r ) ) )
5643, 35, 36, 40, 41, 54, 55syl33anc 1233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  M )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5749, 56syl5ss 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
y ( ball `  M
) r )  i^i 
Y )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
5848, 57eqsstrd 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) )
59 oveq2 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( ( y M P )  +  r )  ->  ( P ( ball `  M
) d )  =  ( P ( ball `  M ) ( ( y M P )  +  r ) ) )
6059sseq2d 3396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( ( y M P )  +  r )  ->  (
( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) ( ( y M P )  +  r ) ) ) )
6160rspcev 3085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y M P )  +  r )  e.  RR  /\  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
( ( y M P )  +  r ) ) )  ->  E. d  e.  RR  ( y ( ball `  N ) r ) 
C_  ( P (
ball `  M )
d ) )
6241, 58, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  E. d  e.  RR  ( y (
ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
63 sseq1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  ( Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  ( y
( ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6463rexbidv 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  ( E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  <->  E. d  e.  RR  ( y (
ball `  N )
r )  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6562, 64syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( Y  =  ( y (
ball `  N )
r )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
6665rexlimdvva 2860 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6766expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6811, 67syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  e.  ( Bnd `  Y )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
6968expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
7010, 69pm2.61dne 2700 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  N  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
7170ex 434 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  ->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
72 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )
73 xpss12 4957 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  ( P
( ball `  M )
d )  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
7472, 72, 73syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )
75 resabs1 5151 . . . . . 6  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
7674, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
7776, 13syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  N )
78 blbnd 28698 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
7942, 78syl3an1 1251 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
80793expa 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  d  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
8180adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M ) d ) ) )
82 bndss 28697 . . . . 5  |-  ( ( ( M  |`  (
( P ( ball `  M ) d )  X.  ( P (
ball `  M )
d ) ) )  e.  ( Bnd `  ( P ( ball `  M
) d ) )  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P (
ball `  M )
d )  X.  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Bnd `  Y
) )
8381, 72, 82syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( ( M  |`  ( ( P ( ball `  M
) d )  X.  ( P ( ball `  M ) d ) ) )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Bnd `  Y
) )
8477, 83eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X
)  /\  ( d  e.  RR  /\  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) )
8584rexlimdvaa 2854 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. d  e.  RR  Y  C_  ( P (
ball `  M )
d )  ->  N  e.  ( Bnd `  Y
) ) )
8671, 85impbid 191 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y )  <->  E. d  e.  RR  Y  C_  ( P ( ball `  M
) d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728    i^i cin 3339    C_ wss 3340   (/)c0 3649   class class class wbr 4304    X. cxp 4850   dom cdm 4852    |` cres 4854   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   0cc0 9294    + caddc 9297   RR*cxr 9429    <_ cle 9431    - cmin 9607   RR+crp 11003   *Metcxmt 17813   Metcme 17814   ballcbl 17815   Bndcbnd 28678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-er 7113  df-ec 7115  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-2 10392  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-bnd 28690
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  28706  cntotbnd  28707
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