MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssblps Structured version   Unicode version

Theorem ssblps 20653
Description: The size of a ball increases monotonically with its radius. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssblps  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P ( ball `  D
) R )  C_  ( P ( ball `  D
) S ) )

Proof of Theorem ssblps
StepHypRef Expression
1 simp1l 1015 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
2 simp1r 1016 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  P  e.  X )
3 simp2l 1017 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  R  e.  RR* )
4 simp2r 1018 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  S  e.  RR* )
5 psmet0 20540 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( P D P )  =  0 )
653ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P D P )  =  0 )
7 0re 9585 . . 3  |-  0  e.  RR
86, 7syl6eqel 2556 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P D P )  e.  RR )
9 simp3 993 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  R  <_  S )
10 xsubge0 11442 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( S +e  -e R )  <->  R  <_  S ) )
114, 3, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  (
0  <_  ( S +e  -e R )  <->  R  <_  S ) )
129, 11mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  0  <_  ( S +e  -e R ) )
136, 12eqbrtrd 4460 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P D P )  <_ 
( S +e  -e R ) )
141, 2, 2, 3, 4, 8, 13xblss2ps 20632 1  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P ( ball `  D
) R )  C_  ( P ( ball `  D
) S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   RR*cxr 9616    <_ cle 9618    -ecxne 11304   +ecxad 11305  PsMetcpsmet 18166   ballcbl 18169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-2 10583  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-psmet 18175  df-bl 18178
This theorem is referenced by:  blssps  20655
  Copyright terms: Public domain W3C validator