MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssbl Structured version   Unicode version

Theorem ssbl 21218
Description: The size of a ball increases monotonically with its radius. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssbl  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P ( ball `  D
) R )  C_  ( P ( ball `  D
) S ) )

Proof of Theorem ssbl
StepHypRef Expression
1 simp1l 1021 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 simp1r 1022 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  P  e.  X )
3 simp2l 1023 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  R  e.  RR* )
4 simp2r 1024 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  S  e.  RR* )
5 xmet0 21137 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( P D P )  =  0 )
653ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P D P )  =  0 )
7 0re 9626 . . 3  |-  0  e.  RR
86, 7syl6eqel 2498 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P D P )  e.  RR )
9 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  R  <_  S )
10 xsubge0 11506 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( S +e  -e R )  <->  R  <_  S ) )
114, 3, 10syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  (
0  <_  ( S +e  -e R )  <->  R  <_  S ) )
129, 11mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  0  <_  ( S +e  -e R ) )
136, 12eqbrtrd 4415 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P D P )  <_ 
( S +e  -e R ) )
141, 2, 2, 3, 4, 8, 13xblss2 21197 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P ( ball `  D
) R )  C_  ( P ( ball `  D
) S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   RR*cxr 9657    <_ cle 9659    -ecxne 11368   +ecxad 11369   *Metcxmt 18723   ballcbl 18725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-2 10635  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-bl 18734
This theorem is referenced by:  blss  21220  ssblex  21223  blssec  21230  metequiv2  21305  met1stc  21316  met2ndci  21317  metdstri  21647  xlebnum  21757  iscmet3lem2  22023  caubl  22038  heiborlem8  31596
  Copyright terms: Public domain W3C validator