MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssbl Structured version   Unicode version

Theorem ssbl 20114
Description: The size of a ball increases monotonically with its radius. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssbl  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P ( ball `  D
) R )  C_  ( P ( ball `  D
) S ) )

Proof of Theorem ssbl
StepHypRef Expression
1 simp1l 1012 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 simp1r 1013 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  P  e.  X )
3 simp2l 1014 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  R  e.  RR* )
4 simp2r 1015 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  S  e.  RR* )
5 xmet0 20033 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( P D P )  =  0 )
653ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P D P )  =  0 )
7 0re 9487 . . 3  |-  0  e.  RR
86, 7syl6eqel 2547 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P D P )  e.  RR )
9 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  R  <_  S )
10 xsubge0 11325 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( S +e  -e R )  <->  R  <_  S ) )
114, 3, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  (
0  <_  ( S +e  -e R )  <->  R  <_  S ) )
129, 11mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  0  <_  ( S +e  -e R ) )
136, 12eqbrtrd 4410 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P D P )  <_ 
( S +e  -e R ) )
141, 2, 2, 3, 4, 8, 13xblss2 20093 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  /\  R  <_  S )  ->  ( P ( ball `  D
) R )  C_  ( P ( ball `  D
) S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3426   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383   RR*cxr 9518    <_ cle 9520    -ecxne 11187   +ecxad 11188   *Metcxmt 17910   ballcbl 17912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-2 10481  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-bl 17921
This theorem is referenced by:  blss  20116  ssblex  20119  blssec  20126  metequiv2  20201  met1stc  20212  met2ndci  20213  metdstri  20543  xlebnum  20653  iscmet3lem2  20919  caubl  20934  heiborlem8  28855
  Copyright terms: Public domain W3C validator