MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngnvl Structured version   Unicode version

Theorem srngnvl 16946
Description: The involution function in a star ring is an involution. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i  |-  .*  =  ( *r `  R )
srngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
srngnvl  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (  .*  `  (  .*  `  X ) )  =  X )

Proof of Theorem srngnvl
StepHypRef Expression
1 srngcl.i . . . 4  |-  .*  =  ( *r `  R )
2 srngcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2srngcl 16945 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (  .*  `  X )  e.  B )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ( *rf `  R
)  =  ( *rf `  R
)
52, 1, 4stafval 16938 . . 3  |-  ( (  .*  `  X )  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  (  .*  `  X ) )  =  (  .* 
`  (  .*  `  X ) ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  (  .*  `  X ) )  =  (  .* 
`  (  .*  `  X ) ) )
74srngcnv 16943 . . . . 5  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( *rf `  R
)  =  `' ( *rf `  R ) )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
*rf `  R )  =  `' ( *rf `  R ) )
98fveq1d 5698 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( ( *rf `  R ) `
 X ) )  =  ( `' ( *rf `  R ) `  (
( *rf `  R ) `  X ) ) )
102, 1, 4stafval 16938 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
1211fveq2d 5700 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( ( *rf `  R ) `
 X ) )  =  ( ( *rf `  R
) `  (  .*  `  X ) ) )
134, 2srngf1o 16944 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( *rf `  R
) : B -1-1-onto-> B )
14 f1ocnvfv1 5988 . . . 4  |-  ( ( ( *rf `  R ) : B -1-1-onto-> B  /\  X  e.  B )  ->  ( `' ( *rf `  R ) `
 ( ( *rf `  R
) `  X )
)  =  X )
1513, 14sylan 471 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( `' ( *rf `  R ) `
 ( ( *rf `  R
) `  X )
)  =  X )
169, 12, 153eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  (  .*  `  X ) )  =  X )
176, 16eqtr3d 2477 1  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (  .*  `  (  .*  `  X ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   `'ccnv 4844   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423   Basecbs 14179   *rcstv 14245   *rfcstf 16933   *Ringcsr 16934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-mhm 15469  df-ghm 15750  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-rnghom 16811  df-staf 16935  df-srng 16936
This theorem is referenced by:  ipassr2  18081
  Copyright terms: Public domain W3C validator