MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngnvl Structured version   Unicode version

Theorem srngnvl 17825
Description: The involution function in a star ring is an involution. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i  |-  .*  =  ( *r `  R )
srngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
srngnvl  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (  .*  `  (  .*  `  X ) )  =  X )

Proof of Theorem srngnvl
StepHypRef Expression
1 srngcl.i . . . 4  |-  .*  =  ( *r `  R )
2 srngcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2srngcl 17824 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (  .*  `  X )  e.  B )
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( *rf `  R
)  =  ( *rf `  R
)
52, 1, 4stafval 17817 . . 3  |-  ( (  .*  `  X )  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  (  .*  `  X ) )  =  (  .* 
`  (  .*  `  X ) ) )
63, 5syl 17 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  (  .*  `  X ) )  =  (  .* 
`  (  .*  `  X ) ) )
74srngcnv 17822 . . . . 5  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( *rf `  R
)  =  `' ( *rf `  R ) )
87adantr 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
*rf `  R )  =  `' ( *rf `  R ) )
98fveq1d 5851 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( ( *rf `  R ) `
 X ) )  =  ( `' ( *rf `  R ) `  (
( *rf `  R ) `  X ) ) )
102, 1, 4stafval 17817 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
1110adantl 464 . . . 4  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
1211fveq2d 5853 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( ( *rf `  R ) `
 X ) )  =  ( ( *rf `  R
) `  (  .*  `  X ) ) )
134, 2srngf1o 17823 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( *rf `  R
) : B -1-1-onto-> B )
14 f1ocnvfv1 6163 . . . 4  |-  ( ( ( *rf `  R ) : B -1-1-onto-> B  /\  X  e.  B )  ->  ( `' ( *rf `  R ) `
 ( ( *rf `  R
) `  X )
)  =  X )
1513, 14sylan 469 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( `' ( *rf `  R ) `
 ( ( *rf `  R
) `  X )
)  =  X )
169, 12, 153eqtr3d 2451 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  (  .*  `  X ) )  =  X )
176, 16eqtr3d 2445 1  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B )  ->  (  .*  `  (  .*  `  X ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   `'ccnv 4822   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569   Basecbs 14841   *rcstv 14911   *rfcstf 17812   *Ringcsr 17813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mhm 16290  df-ghm 16589  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-rnghom 17684  df-staf 17814  df-srng 17815
This theorem is referenced by:  ipassr2  18980
  Copyright terms: Public domain W3C validator