MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngmul Structured version   Unicode version

Theorem srngmul 16958
Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i  |-  .*  =  ( *r `  R )
srngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srngmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
srngmul  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  .*  `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( (  .*  `  Y )  .x.  (  .*  `  X ) ) )

Proof of Theorem srngmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( *rf `  R
)  =  ( *rf `  R
)
31, 2srngrhm 16951 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( *rf `  R
)  e.  ( R RingHom 
(oppr `  R ) ) )
4 srngcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 srngmul.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .r
`  (oppr
`  R ) )  =  ( .r `  (oppr `  R ) )
74, 5, 6rhmmul 16832 . . . 4  |-  ( ( ( *rf `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  X
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( *rf `  R ) `  Y ) ) )
83, 7syl3an1 1251 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  X ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( *rf `  R ) `
 Y ) ) )
94, 5, 1, 6opprmul 16733 . . 3  |-  ( ( ( *rf `  R ) `  X ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( *rf `  R ) `
 Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  Y
)  .x.  ( (
*rf `  R ) `  X
) )
108, 9syl6eq 2491 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  Y )  .x.  (
( *rf `  R ) `  X ) ) )
11 srngrng 16952 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  R  e.  Ring )
124, 5rngcl 16673 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
1311, 12syl3an1 1251 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
14 srngcl.i . . . 4  |-  .*  =  ( *r `  R )
154, 14, 2stafval 16948 . . 3  |-  ( ( X  .x.  Y )  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  (  .* 
`  ( X  .x.  Y ) ) )
1613, 15syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  (  .* 
`  ( X  .x.  Y ) ) )
174, 14, 2stafval 16948 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  Y )  =  (  .*  `  Y ) )
18173ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  Y )  =  (  .*  `  Y ) )
194, 14, 2stafval 16948 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
20193ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
2118, 20oveq12d 6124 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 Y )  .x.  ( ( *rf `  R ) `
 X ) )  =  ( (  .* 
`  Y )  .x.  (  .*  `  X ) ) )
2210, 16, 213eqtr3d 2483 1  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  .*  `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( (  .*  `  Y )  .x.  (  .*  `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   .rcmulr 14254   *rcstv 14255   Ringcrg 16660  opprcoppr 16729   RingHom crh 16819   *rfcstf 16943   *Ringcsr 16944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-tpos 6760  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-mhm 15479  df-ghm 15760  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-oppr 16730  df-rnghom 16821  df-staf 16945  df-srng 16946
This theorem is referenced by:  ipassr  18090
  Copyright terms: Public domain W3C validator