MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngmul Structured version   Unicode version

Theorem srngmul 17705
Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i  |-  .*  =  ( *r `  R )
srngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srngmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
srngmul  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  .*  `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( (  .*  `  Y )  .x.  (  .*  `  X ) ) )

Proof of Theorem srngmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( *rf `  R
)  =  ( *rf `  R
)
31, 2srngrhm 17698 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( *rf `  R
)  e.  ( R RingHom 
(oppr `  R ) ) )
4 srngcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 srngmul.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( .r
`  (oppr
`  R ) )  =  ( .r `  (oppr `  R ) )
74, 5, 6rhmmul 17574 . . . 4  |-  ( ( ( *rf `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  X
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( *rf `  R ) `  Y ) ) )
83, 7syl3an1 1259 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  X ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( *rf `  R ) `
 Y ) ) )
94, 5, 1, 6opprmul 17473 . . 3  |-  ( ( ( *rf `  R ) `  X ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( *rf `  R ) `
 Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  Y
)  .x.  ( (
*rf `  R ) `  X
) )
108, 9syl6eq 2511 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  Y )  .x.  (
( *rf `  R ) `  X ) ) )
11 srngring 17699 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  R  e.  Ring )
124, 5ringcl 17410 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
1311, 12syl3an1 1259 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
14 srngcl.i . . . 4  |-  .*  =  ( *r `  R )
154, 14, 2stafval 17695 . . 3  |-  ( ( X  .x.  Y )  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  (  .* 
`  ( X  .x.  Y ) ) )
1613, 15syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  (  .* 
`  ( X  .x.  Y ) ) )
174, 14, 2stafval 17695 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  Y )  =  (  .*  `  Y ) )
18173ad2ant3 1017 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  Y )  =  (  .*  `  Y ) )
194, 14, 2stafval 17695 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
20193ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
2118, 20oveq12d 6288 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 Y )  .x.  ( ( *rf `  R ) `
 X ) )  =  ( (  .* 
`  Y )  .x.  (  .*  `  X ) ) )
2210, 16, 213eqtr3d 2503 1  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  .*  `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( (  .*  `  Y )  .x.  (  .*  `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   .rcmulr 14788   *rcstv 14789   Ringcrg 17396  opprcoppr 17469   RingHom crh 17559   *rfcstf 17690   *Ringcsr 17691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-ghm 16467  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-oppr 17470  df-rnghom 17562  df-staf 17692  df-srng 17693
This theorem is referenced by:  ipassr  18857
  Copyright terms: Public domain W3C validator