MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngmul Structured version   Unicode version

Theorem srngmul 17378
Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i  |-  .*  =  ( *r `  R )
srngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srngmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
srngmul  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  .*  `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( (  .*  `  Y )  .x.  (  .*  `  X ) ) )

Proof of Theorem srngmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( *rf `  R
)  =  ( *rf `  R
)
31, 2srngrhm 17371 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( *rf `  R
)  e.  ( R RingHom 
(oppr `  R ) ) )
4 srngcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 srngmul.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( .r
`  (oppr
`  R ) )  =  ( .r `  (oppr `  R ) )
74, 5, 6rhmmul 17248 . . . 4  |-  ( ( ( *rf `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  X
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( *rf `  R ) `  Y ) ) )
83, 7syl3an1 1261 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  X ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( *rf `  R ) `
 Y ) ) )
94, 5, 1, 6opprmul 17147 . . 3  |-  ( ( ( *rf `  R ) `  X ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( *rf `  R ) `
 Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  Y
)  .x.  ( (
*rf `  R ) `  X
) )
108, 9syl6eq 2524 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  Y )  .x.  (
( *rf `  R ) `  X ) ) )
11 srngring 17372 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  R  e.  Ring )
124, 5ringcl 17084 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
1311, 12syl3an1 1261 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
14 srngcl.i . . . 4  |-  .*  =  ( *r `  R )
154, 14, 2stafval 17368 . . 3  |-  ( ( X  .x.  Y )  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  (  .* 
`  ( X  .x.  Y ) ) )
1613, 15syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .x.  Y ) )  =  (  .* 
`  ( X  .x.  Y ) ) )
174, 14, 2stafval 17368 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  Y )  =  (  .*  `  Y ) )
18173ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  Y )  =  (  .*  `  Y ) )
194, 14, 2stafval 17368 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
20193ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
2118, 20oveq12d 6313 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 Y )  .x.  ( ( *rf `  R ) `
 X ) )  =  ( (  .* 
`  Y )  .x.  (  .*  `  X ) ) )
2210, 16, 213eqtr3d 2516 1  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  .*  `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( (  .*  `  Y )  .x.  (  .*  `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   .rcmulr 14573   *rcstv 14574   Ringcrg 17070  opprcoppr 17143   RingHom crh 17233   *rfcstf 17363   *Ringcsr 17364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-ghm 16137  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-rnghom 17236  df-staf 17365  df-srng 17366
This theorem is referenced by:  ipassr  18550
  Copyright terms: Public domain W3C validator