MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngfn Structured version   Unicode version

Theorem srngfn 14276
Description: A constructed star ring is a function with domain contained in 
1 thru  4. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
srngfn.r  |-  R  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } )
Assertion
Ref Expression
srngfn  |-  R Struct  <. 1 ,  4 >.

Proof of Theorem srngfn
StepHypRef Expression
1 srngfn.r . 2  |-  R  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } )
2 eqid 2433 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }
32rngstr 14268 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >.
4 4nn 10469 . . . 4  |-  4  e.  NN
5 starvndx 14272 . . . 4  |-  ( *r `  ndx )  =  4
64, 5strle1 14252 . . 3  |-  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } Struct  <. 4 ,  4 >.
7 3lt4 10479 . . 3  |-  3  <  4
83, 6, 7strleun 14251 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. } ) Struct  <. 1 ,  4
>.
91, 8eqbrtri 4299 1  |-  R Struct  <. 1 ,  4 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1362    u. cun 3314   {csn 3865   {ctp 3869   <.cop 3871   class class class wbr 4280   ` cfv 5406   1c1 9271   3c3 10360   4c4 10361   Struct cstr 14153   ndxcnx 14154   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   .rcmulr 14222   *rcstv 14223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236
This theorem is referenced by:  srngbase  14277  srngplusg  14278  srngmulr  14279  srnginvl  14280  cnfldstr  17664
  Copyright terms: Public domain W3C validator