MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngadd Structured version   Unicode version

Theorem srngadd 16942
Description: The involution function in a star ring distributes over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i  |-  .*  =  ( *r `  R )
srngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srngadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
srngadd  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  .*  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  .*  `  X )  .+  (  .*  `  Y ) ) )

Proof of Theorem srngadd
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( *rf `  R
)  =  ( *rf `  R
)
31, 2srngrhm 16936 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( *rf `  R
)  e.  ( R RingHom 
(oppr `  R ) ) )
4 rhmghm 16815 . . . 4  |-  ( ( *rf `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) )  ->  ( *rf `  R )  e.  ( R  GrpHom  (oppr `  R ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( *rf `  R
)  e.  ( R 
GrpHom  (oppr
`  R ) ) )
6 srngcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
7 srngadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
81, 7oppradd 16722 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  (oppr `  R
) )
96, 7, 8ghmlin 15752 . . 3  |-  ( ( ( *rf `  R )  e.  ( R  GrpHom  (oppr `  R
) )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  X )  .+  (
( *rf `  R ) `  Y ) ) )
105, 9syl3an1 1251 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  X )  .+  (
( *rf `  R ) `  Y ) ) )
11 srngrng 16937 . . . 4  |-  ( R  e.  *Ring  ->  R  e.  Ring )
126, 7rngacl 16672 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
1311, 12syl3an1 1251 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
14 srngcl.i . . . 4  |-  .*  =  ( *r `  R )
156, 14, 2stafval 16933 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .+  Y ) )  =  (  .* 
`  ( X  .+  Y ) ) )
1613, 15syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( X  .+  Y ) )  =  (  .* 
`  ( X  .+  Y ) ) )
176, 14, 2stafval 16933 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
18173ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  X )  =  (  .*  `  X ) )
196, 14, 2stafval 16933 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( *rf `  R ) `  Y )  =  (  .*  `  Y ) )
20193ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( *rf `  R ) `  Y )  =  (  .*  `  Y ) )
2118, 20oveq12d 6109 . 2  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 X )  .+  ( ( *rf `  R ) `
 Y ) )  =  ( (  .* 
`  X )  .+  (  .*  `  Y ) ) )
2210, 16, 213eqtr3d 2483 1  |-  ( ( R  e.  *Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  .*  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  .*  `  X )  .+  (  .*  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   *rcstv 14240    GrpHom cghm 15744   Ringcrg 16645  opprcoppr 16714   RingHom crh 16804   *rfcstf 16928   *Ringcsr 16929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-grp 15545  df-ghm 15745  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-rnghom 16806  df-staf 16930  df-srng 16931
This theorem is referenced by:  ipdi  18069
  Copyright terms: Public domain W3C validator