MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srng0 Structured version   Unicode version

Theorem srng0 17622
Description: The conjugate of the ring zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srng0.i  |-  .*  =  ( *r `  R )
srng0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
srng0  |-  ( R  e.  *Ring  ->  (  .*  `  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem srng0
StepHypRef Expression
1 srngring 17614 . . 3  |-  ( R  e.  *Ring  ->  R  e.  Ring )
2 ringgrp 17316 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
3 eqid 2382 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 srng0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
53, 4grpidcl 16195 . . 3  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
6 srng0.i . . . 4  |-  .*  =  ( *r `  R )
7 eqid 2382 . . . 4  |-  ( *rf `  R
)  =  ( *rf `  R
)
83, 6, 7stafval 17610 . . 3  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  .0.  )  =  (  .*  `  .0.  ) )
91, 2, 5, 84syl 21 . 2  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( (
*rf `  R ) `  .0.  )  =  (  .*  `  .0.  ) )
10 eqid 2382 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
1110, 7srngrhm 17613 . . 3  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( *rf `  R
)  e.  ( R RingHom 
(oppr `  R ) ) )
12 rhmghm 17487 . . 3  |-  ( ( *rf `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) )  ->  ( *rf `  R )  e.  ( R  GrpHom  (oppr `  R ) ) )
1310, 4oppr0 17395 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  (oppr `  R
) )
144, 13ghmid 16390 . . 3  |-  ( ( *rf `  R )  e.  ( R  GrpHom  (oppr
`  R ) )  ->  ( ( *rf `  R
) `  .0.  )  =  .0.  )
1511, 12, 143syl 20 . 2  |-  ( R  e.  *Ring  ->  ( (
*rf `  R ) `  .0.  )  =  .0.  )
169, 15eqtr3d 2425 1  |-  ( R  e.  *Ring  ->  (  .*  `  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   *rcstv 14704   0gc0g 14847   Grpcgrp 16170    GrpHom cghm 16381   Ringcrg 17311  opprcoppr 17384   RingHom crh 17474   *rfcstf 17605   *Ringcsr 17606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-grp 16174  df-ghm 16382  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-oppr 17385  df-rnghom 17477  df-staf 17607  df-srng 17608
This theorem is referenced by:  iporthcom  18761  ip0r  18763
  Copyright terms: Public domain W3C validator