Theorem srhmsubcALTV 40605

Description: According to df-subc 15795, the subcategories (Subcat ` C ) of a category C are subsets of the homomorphisms of C ( see subcssc 15823 and subcss2 15826). Therefore, the set of special ring homomorphisms (i.e. ring homomorphisms from a special ring to another ring of that kind) is a "subcategory" of the category of (unital) rings. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srhmsubcALTV.s	|- A. r e. S r e. Ring
srhmsubcALTV.c	|- C = ( U i^i S )
srhmsubcALTV.j	|- J = ( r e. C , s e. C |-> ( r RingHom s ) )

Assertion

Ref	Expression
srhmsubcALTV	|- ( U e. V -> J e. (Subcat ` (RingCatALTV ` U ) ) )

Distinct variable groups:   S, r   C, r, s   U, r, s   V, r, s

Allowed substitution hints:   S( s)   J( s, r)

Proof of Theorem srhmsubcALTV

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srhmsubcALTV.c	. . . 4 |- C = ( U i^i S )
2		eleq1 2537	. . . . . . 7 |- ( r = x -> ( r e. Ring <-> x e. Ring ) )
3		srhmsubcALTV.s	. . . . . . 7 |- A. r e. S r e. Ring
4	2, 3	vtoclri 3110	. . . . . 6 |- ( x e. S -> x e. Ring )
5	4	ssriv 3422	. . . . 5 |- S C_ Ring
6		sslin 3649	. . . . 5 |- ( S C_ Ring -> ( U i^i S ) C_ ( U i^i Ring ) )
7	5, 6	mp1i 13	. . . 4 |- ( U e. V -> ( U i^i S ) C_ ( U i^i Ring ) )
8	1, 7	syl5eqss 3462	. . 3 |- ( U e. V -> C C_ ( U i^i Ring ) )
9		ssid 3437	. . . . . 6 |- ( x RingHom y ) C_ ( x RingHom y )
10		eqid 2471	. . . . . . 7 |- (RingCatALTV ` U ) = (RingCatALTV ` U )
11		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) = ( Base ` (RingCatALTV ` U ) )
12		simpl 464	. . . . . . 7 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> U e. V )
13		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) = ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) )
14	3, 1	srhmsubcALTVlem2 40603	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> x e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
15	14	adantrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
16	3, 1	srhmsubcALTVlem2 40603	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. V /\ y e. C ) -> y e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
17	16	adantrl 730	. . . . . . 7 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
18	10, 11, 12, 13, 15, 17	ringchomALTV 40558	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) = ( x RingHom y ) )
19	9, 18	syl5sseqr 3467	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x RingHom y ) C_ ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
20		srhmsubcALTV.j	. . . . . . 7 |- J = ( r e. C , s e. C |-> ( r RingHom s ) )
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> J = ( r e. C , s e. C |-> ( r RingHom s ) ) )
22		oveq12 6317	. . . . . . 7 |- ( ( r = x /\ s = y ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom y ) )
23	22	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) /\ ( r = x /\ s = y ) ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom y ) )
24		simprl 772	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. C )
25		simprr 774	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. C )
26		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( x RingHom y ) e. _V
27	26	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x RingHom y ) e. _V )
28	21, 23, 24, 25, 27	ovmpt2d 6443	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x J y ) = ( x RingHom y ) )
29		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) = ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) )
30	29, 11, 13, 15, 17	homfval 15675	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) = ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
31	19, 28, 30	3sstr4d 3461	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x J y ) C_ ( x ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
32	31	ralrimivva 2814	. . 3 |- ( U e. V -> A. x e. C A. y e. C ( x J y ) C_ ( x ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
33		ovex 6336	. . . . . 6 |- ( r RingHom s ) e. _V
34	20, 33	fnmpt2i 6881	. . . . 5 |- J Fn ( C X. C )
35	34	a1i 11	. . . 4 |- ( U e. V -> J Fn ( C X. C ) )
36	29, 11	homffn 15676	. . . . 5 |- ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) Fn ( ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) X. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
37		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( U e. V -> U e. V )
38	10, 11, 37	ringcbasALTV 40556	. . . . . . . 8 |- ( U e. V -> ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) = ( U i^i Ring ) )
39	38	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( U e. V -> ( U i^i Ring ) = ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
40	39	sqxpeqd 4865	. . . . . 6 |- ( U e. V -> ( ( U i^i Ring ) X. ( U i^i Ring ) ) = ( ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) X. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) ) )
41	40	fneq2d 5677	. . . . 5 |- ( U e. V -> ( ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) Fn ( ( U i^i Ring ) X. ( U i^i Ring ) ) <-> ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) Fn ( ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) X. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) ) ) )
42	36, 41	mpbiri 241	. . . 4 |- ( U e. V -> ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) Fn ( ( U i^i Ring ) X. ( U i^i Ring ) ) )
43		inex1g 4539	. . . 4 |- ( U e. V -> ( U i^i Ring ) e. _V )
44	35, 42, 43	isssc 15803	. . 3 |- ( U e. V -> ( J C_cat ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) <-> ( C C_ ( U i^i Ring ) /\ A. x e. C A. y e. C ( x J y ) C_ ( x ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) ) ) )
45	8, 32, 44	mpbir2and 936	. 2 |- ( U e. V -> J C_cat ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) )
46	1	elin2 3612	. . . . . . . 8 |- ( x e. C <-> ( x e. U /\ x e. S ) )
47	4	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. U /\ x e. S ) -> x e. Ring )
48	46, 47	sylbi 200	. . . . . . 7 |- ( x e. C -> x e. Ring )
49	48	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> x e. Ring )
50		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( Base ` x ) = ( Base ` x )
51	50	idrhm 18037	. . . . . 6 |- ( x e. Ring -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RingHom x ) )
52	49, 51	syl 17	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RingHom x ) )
53		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) = ( Id ` (RingCatALTV ` U ) )
54		simpl 464	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> U e. V )
55	10, 11, 53, 54, 14, 50	ringcidALTV 40564	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) ` x ) = ( _I |` ( Base ` x ) ) )
56	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> J = ( r e. C , s e. C |-> ( r RingHom s ) ) )
57		oveq12 6317	. . . . . . 7 |- ( ( r = x /\ s = x ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom x ) )
58	57	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( r = x /\ s = x ) ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom x ) )
59		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> x e. C )
60		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( x RingHom x ) e. _V
61	60	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( x RingHom x ) e. _V )
62	56, 58, 59, 59, 61	ovmpt2d 6443	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( x J x ) = ( x RingHom x ) )
63	52, 55, 62	3eltr4d 2564	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) ` x ) e. ( x J x ) )
64		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) = (comp ` (RingCatALTV ` U ) )
65	10	ringccatALTV 40563	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. V -> (RingCatALTV ` U ) e. Cat )
66	65	ad3antrrr 744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> (RingCatALTV ` U ) e. Cat )
67	14	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> x e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
68	67	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> x e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
69	16	ad2ant2r 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> y e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
70	69	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> y e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
71	3, 1	srhmsubcALTVlem2 40603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. V /\ z e. C ) -> z e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
72	71	ad2ant2rl 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> z e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
73	72	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> z e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
74	54	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> U e. V )
75		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. C /\ z e. C ) -> y e. C )
76	59, 75	anim12i 576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x e. C /\ y e. C ) )
77	74, 76	jca 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) )
78	3, 1, 20	srhmsubcALTVlem3 40604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x J y ) = ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x J y ) = ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
80	79	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( f e. ( x J y ) <-> f e. ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) ) )
81	80	biimpcd 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( x J y ) -> ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> f e. ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) ) )
82	81	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) -> ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> f e. ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) ) )
83	82	impcom 437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
84	3, 1, 20	srhmsubcALTVlem3 40604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. V /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( y J z ) = ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
85	84	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( y J z ) = ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
86	85	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( g e. ( y J z ) <-> g e. ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) ) )
87	86	biimpd 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( g e. ( y J z ) -> g e. ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) ) )
88	87	adantld 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) -> g e. ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) ) )
89	88	imp 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
90	11, 13, 64, 66, 68, 70, 73, 83, 89	catcocl 15669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
91	10, 11, 74, 13, 67, 72	ringchomALTV 40558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) = ( x RingHom z ) )
92	91	eqcomd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x RingHom z ) = ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
93	92	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( x RingHom z ) = ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
94	90, 93	eleqtrrd 2552	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x RingHom z ) )
95	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> J = ( r e. C , s e. C |-> ( r RingHom s ) ) )
96		oveq12 6317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r = x /\ s = z ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom z ) )
97	96	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( r = x /\ s = z ) ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom z ) )
98	59	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> x e. C )
99		simprr 774	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> z e. C )
100		ovex 6336	. . . . . . . . . 10 |- ( x RingHom z ) e. _V
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x RingHom z ) e. _V )
102	95, 97, 98, 99, 101	ovmpt2d 6443	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x J z ) = ( x RingHom z ) )
103	102	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( x J z ) = ( x RingHom z ) )
104	94, 103	eleqtrrd 2552	. . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) )
105	104	ralrimivva 2814	. . . . 5 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) )
106	105	ralrimivva 2814	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> A. y e. C A. z e. C A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) )
107	63, 106	jca 541	. . 3 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( ( ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. C A. z e. C A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) ) )
108	107	ralrimiva 2809	. 2 |- ( U e. V -> A. x e. C ( ( ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. C A. z e. C A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) ) )
109	29, 53, 64, 65, 35	issubc2 15819	. 2 |- ( U e. V -> ( J e. (Subcat ` (RingCatALTV ` U ) ) <-> ( J C_cat ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) /\ A. x e. C ( ( ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. C A. z e. C A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
110	45, 108, 109	mpbir2and 936	1 |- ( U e. V -> J e. (Subcat ` (RingCatALTV ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395   _I cid 4749   X. cxp 4837   |` cres 4841   Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   Basecbs 15199   Hom chom 15279  compcco 15280   Catccat 15648   Idccid 15649   Hom _f chomf 15650   C__cat cssc 15790  Subcatcsubc 15792   Ringcrg 17858   RingHom crh 18018  RingCatALTVcringcALTV 40514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-cat 15652  df-cid 15653  df-homf 15654  df-ssc 15793  df-subc 15795  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-ghm 16959  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-rnghom 18021  df-ringcALTV 40516

This theorem is referenced by:  sringcatALTV  40606  crhmsubcALTV  40607  drhmsubcALTV  40609  fldhmsubcALTV  40613