Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  srhmsubcALTV Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem srhmsubcALTV 40605
 Description: According to df-subc 15795, the subcategories Subcat of a category are subsets of the homomorphisms of ( see subcssc 15823 and subcss2 15826). Therefore, the set of special ring homomorphisms (i.e. ring homomorphisms from a special ring to another ring of that kind) is a "subcategory" of the category of (unital) rings. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubcALTV.s
srhmsubcALTV.c
srhmsubcALTV.j RingHom
Assertion
Ref Expression
srhmsubcALTV SubcatRingCatALTV
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem srhmsubcALTV
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srhmsubcALTV.c . . . 4
2 eleq1 2537 . . . . . . 7
3 srhmsubcALTV.s . . . . . . 7
42, 3vtoclri 3110 . . . . . 6
54ssriv 3422 . . . . 5
6 sslin 3649 . . . . 5
75, 6mp1i 13 . . . 4
81, 7syl5eqss 3462 . . 3
9 ssid 3437 . . . . . 6 RingHom RingHom
10 eqid 2471 . . . . . . 7 RingCatALTV RingCatALTV
11 eqid 2471 . . . . . . 7 RingCatALTV RingCatALTV
12 simpl 464 . . . . . . 7
13 eqid 2471 . . . . . . 7 RingCatALTV RingCatALTV
143, 1srhmsubcALTVlem2 40603 . . . . . . . 8 RingCatALTV
1514adantrr 731 . . . . . . 7 RingCatALTV
163, 1srhmsubcALTVlem2 40603 . . . . . . . 8 RingCatALTV
1716adantrl 730 . . . . . . 7 RingCatALTV
1810, 11, 12, 13, 15, 17ringchomALTV 40558 . . . . . 6 RingCatALTV RingHom
199, 18syl5sseqr 3467 . . . . 5 RingHom RingCatALTV
20 srhmsubcALTV.j . . . . . . 7 RingHom
2120a1i 11 . . . . . 6 RingHom
22 oveq12 6317 . . . . . . 7 RingHom RingHom
2322adantl 473 . . . . . 6 RingHom RingHom
24 simprl 772 . . . . . 6
25 simprr 774 . . . . . 6
26 ovex 6336 . . . . . . 7 RingHom
2726a1i 11 . . . . . 6 RingHom
2821, 23, 24, 25, 27ovmpt2d 6443 . . . . 5 RingHom
29 eqid 2471 . . . . . 6 f RingCatALTV f RingCatALTV
3029, 11, 13, 15, 17homfval 15675 . . . . 5 f RingCatALTV RingCatALTV
3119, 28, 303sstr4d 3461 . . . 4 f RingCatALTV
3231ralrimivva 2814 . . 3 f RingCatALTV
33 ovex 6336 . . . . . 6 RingHom
3420, 33fnmpt2i 6881 . . . . 5
3534a1i 11 . . . 4
3629, 11homffn 15676 . . . . 5 f RingCatALTV RingCatALTV RingCatALTV
37 id 22 . . . . . . . . 9
3810, 11, 37ringcbasALTV 40556 . . . . . . . 8 RingCatALTV
3938eqcomd 2477 . . . . . . 7 RingCatALTV
4039sqxpeqd 4865 . . . . . 6 RingCatALTV RingCatALTV
4140fneq2d 5677 . . . . 5 f RingCatALTV f RingCatALTV RingCatALTV RingCatALTV
4236, 41mpbiri 241 . . . 4 f RingCatALTV
43 inex1g 4539 . . . 4
4435, 42, 43isssc 15803 . . 3 cat f RingCatALTV f RingCatALTV
458, 32, 44mpbir2and 936 . 2 cat f RingCatALTV
461elin2 3612 . . . . . . . 8
474adantl 473 . . . . . . . 8
4846, 47sylbi 200 . . . . . . 7
4948adantl 473 . . . . . 6
50 eqid 2471 . . . . . . 7
5150idrhm 18037 . . . . . 6 RingHom
5249, 51syl 17 . . . . 5 RingHom
53 eqid 2471 . . . . . 6 RingCatALTV RingCatALTV
54 simpl 464 . . . . . 6
5510, 11, 53, 54, 14, 50ringcidALTV 40564 . . . . 5 RingCatALTV
5620a1i 11 . . . . . 6 RingHom
57 oveq12 6317 . . . . . . 7 RingHom RingHom
5857adantl 473 . . . . . 6 RingHom RingHom
59 simpr 468 . . . . . 6
60 ovex 6336 . . . . . . 7 RingHom
6160a1i 11 . . . . . 6 RingHom
6256, 58, 59, 59, 61ovmpt2d 6443 . . . . 5 RingHom
6352, 55, 623eltr4d 2564 . . . 4 RingCatALTV
64 eqid 2471 . . . . . . . . 9 compRingCatALTV compRingCatALTV
6510ringccatALTV 40563 . . . . . . . . . 10 RingCatALTV
6665ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9 RingCatALTV
6714adantr 472 . . . . . . . . . 10 RingCatALTV
6867adantr 472 . . . . . . . . 9 RingCatALTV
6916ad2ant2r 761 . . . . . . . . . 10 RingCatALTV
7069adantr 472 . . . . . . . . 9 RingCatALTV
713, 1srhmsubcALTVlem2 40603 . . . . . . . . . . 11 RingCatALTV
7271ad2ant2rl 763 . . . . . . . . . 10 RingCatALTV
7372adantr 472 . . . . . . . . 9 RingCatALTV
7454adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7659, 75anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . 15
7774, 76jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14
783, 1, 20srhmsubcALTVlem3 40604 . . . . . . . . . . . . . 14 RingCatALTV
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 RingCatALTV
8079eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12 RingCatALTV
8180biimpcd 232 . . . . . . . . . . 11 RingCatALTV
8281adantr 472 . . . . . . . . . 10 RingCatALTV
8382impcom 437 . . . . . . . . 9 RingCatALTV
843, 1, 20srhmsubcALTVlem3 40604 . . . . . . . . . . . . . 14 RingCatALTV
8584adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 RingCatALTV
8685eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12 RingCatALTV
8786biimpd 212 . . . . . . . . . . 11 RingCatALTV
8887adantld 474 . . . . . . . . . 10 RingCatALTV
8988imp 436 . . . . . . . . 9 RingCatALTV
9011, 13, 64, 66, 68, 70, 73, 83, 89catcocl 15669 . . . . . . . 8 compRingCatALTV RingCatALTV
9110, 11, 74, 13, 67, 72ringchomALTV 40558 . . . . . . . . . 10 RingCatALTV RingHom
9291eqcomd 2477 . . . . . . . . 9 RingHom RingCatALTV
9392adantr 472 . . . . . . . 8 RingHom RingCatALTV
9490, 93eleqtrrd 2552 . . . . . . 7 compRingCatALTV RingHom
9520a1i 11 . . . . . . . . 9 RingHom
96 oveq12 6317 . . . . . . . . . 10 RingHom RingHom
9796adantl 473 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom
9859adantr 472 . . . . . . . . 9
99 simprr 774 . . . . . . . . 9
100 ovex 6336 . . . . . . . . . 10 RingHom
101100a1i 11 . . . . . . . . 9 RingHom
10295, 97, 98, 99, 101ovmpt2d 6443 . . . . . . . 8 RingHom
103102adantr 472 . . . . . . 7 RingHom
10494, 103eleqtrrd 2552 . . . . . 6 compRingCatALTV
105104ralrimivva 2814 . . . . 5 compRingCatALTV
106105ralrimivva 2814 . . . 4 compRingCatALTV
10763, 106jca 541 . . 3 RingCatALTV compRingCatALTV
108107ralrimiva 2809 . 2 RingCatALTV compRingCatALTV
10929, 53, 64, 65, 35issubc2 15819 . 2 SubcatRingCatALTV cat f RingCatALTV RingCatALTV compRingCatALTV
11045, 108, 109mpbir2and 936 1 SubcatRingCatALTV
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cop 3965   class class class wbr 4395   cid 4749   cxp 4837   cres 4841   wfn 5584  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cbs 15199   chom 15279  compcco 15280  ccat 15648  ccid 15649   f chomf 15650   cat cssc 15790  Subcatcsubc 15792  crg 17858   RingHom crh 18018  RingCatALTVcringcALTV 40514 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-cat 15652  df-cid 15653  df-homf 15654  df-ssc 15793  df-subc 15795  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-ghm 16959  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-rnghom 18021  df-ringcALTV 40516 This theorem is referenced by:  sringcatALTV  40606  crhmsubcALTV  40607  drhmsubcALTV  40609  fldhmsubcALTV  40613
 Copyright terms: Public domain W3C validator