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Theorem srhmsubcALTV 40605
Description: According to df-subc 15795, the subcategories  (Subcat `  C ) of a category  C are subsets of the homomorphisms of  C ( see subcssc 15823 and subcss2 15826). Therefore, the set of special ring homomorphisms (i.e. ring homomorphisms from a special ring to another ring of that kind) is a "subcategory" of the category of (unital) rings. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubcALTV.s  |-  A. r  e.  S  r  e.  Ring
srhmsubcALTV.c  |-  C  =  ( U  i^i  S
)
srhmsubcALTV.j  |-  J  =  ( r  e.  C ,  s  e.  C  |->  ( r RingHom  s ) )
Assertion
Ref Expression
srhmsubcALTV  |-  ( U  e.  V  ->  J  e.  (Subcat `  (RingCatALTV `  U
) ) )
Distinct variable groups:    S, r    C, r, s    U, r, s    V, r, s
Allowed substitution hints:    S( s)    J( s, r)

Proof of Theorem srhmsubcALTV
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srhmsubcALTV.c . . . 4  |-  C  =  ( U  i^i  S
)
2 eleq1 2537 . . . . . . 7  |-  ( r  =  x  ->  (
r  e.  Ring  <->  x  e.  Ring ) )
3 srhmsubcALTV.s . . . . . . 7  |-  A. r  e.  S  r  e.  Ring
42, 3vtoclri 3110 . . . . . 6  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  Ring )
54ssriv 3422 . . . . 5  |-  S  C_  Ring
6 sslin 3649 . . . . 5  |-  ( S 
C_  Ring  ->  ( U  i^i  S )  C_  ( U  i^i  Ring ) )
75, 6mp1i 13 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  i^i  S )  C_  ( U  i^i  Ring )
)
81, 7syl5eqss 3462 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  C  C_  ( U  i^i  Ring ) )
9 ssid 3437 . . . . . 6  |-  ( x RingHom 
y )  C_  (
x RingHom  y )
10 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  (RingCatALTV `  U
)  =  (RingCatALTV `  U
)
11 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) )  =  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) )
12 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  U  e.  V )
13 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) )  =  ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) )
143, 1srhmsubcALTVlem2 40603 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
1514adantrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  x  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
163, 1srhmsubcALTVlem2 40603 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  V  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
1716adantrl 730 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  y  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
1810, 11, 12, 13, 15, 17ringchomALTV 40558 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) y )  =  ( x RingHom 
y ) )
199, 18syl5sseqr 3467 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x RingHom  y )  C_  (
x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) y ) )
20 srhmsubcALTV.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( r  e.  C ,  s  e.  C  |->  ( r RingHom  s ) )
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  J  =  ( r  e.  C ,  s  e.  C  |->  ( r RingHom  s
) ) )
22 oveq12 6317 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  x  /\  s  =  y )  ->  ( r RingHom  s )  =  ( x RingHom  y
) )
2322adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  /\  (
r  =  x  /\  s  =  y )
)  ->  ( r RingHom  s )  =  ( x RingHom 
y ) )
24 simprl 772 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  x  e.  C )
25 simprr 774 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  y  e.  C )
26 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( x RingHom 
y )  e.  _V
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x RingHom  y )  e.  _V )
2821, 23, 24, 25, 27ovmpt2d 6443 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x J y )  =  ( x RingHom  y
) )
29 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Hom f  `  (RingCatALTV `
 U ) )  =  ( Hom f  `  (RingCatALTV `  U
) )
3029, 11, 13, 15, 17homfval 15675 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x ( Hom f  `  (RingCatALTV `  U
) ) y )  =  ( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U
) ) y ) )
3119, 28, 303sstr4d 3461 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x J y ) 
C_  ( x ( Hom f  `  (RingCatALTV `  U ) ) y ) )
3231ralrimivva 2814 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x J y )  C_  ( x ( Hom f  `  (RingCatALTV `
 U ) ) y ) )
33 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( r RingHom 
s )  e.  _V
3420, 33fnmpt2i 6881 . . . . 5  |-  J  Fn  ( C  X.  C
)
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  J  Fn  ( C  X.  C
) )
3629, 11homffn 15676 . . . . 5  |-  ( Hom f  `  (RingCatALTV `
 U ) )  Fn  ( ( Base `  (RingCatALTV `  U ) )  X.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
37 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  V )
3810, 11, 37ringcbasALTV 40556 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  V  ->  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) )  =  ( U  i^i  Ring ) )
3938eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  i^i  Ring )  =  (
Base `  (RingCatALTV `  U
) ) )
4039sqxpeqd 4865 . . . . . 6  |-  ( U  e.  V  ->  (
( U  i^i  Ring )  X.  ( U  i^i  Ring ) )  =  ( ( Base `  (RingCatALTV `  U ) )  X.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) ) )
4140fneq2d 5677 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  (
( Hom f  `  (RingCatALTV `  U ) )  Fn  ( ( U  i^i  Ring )  X.  ( U  i^i  Ring ) )  <->  ( Hom f  `  (RingCatALTV `  U ) )  Fn  ( ( Base `  (RingCatALTV `  U ) )  X.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) ) ) )
4236, 41mpbiri 241 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  ( Hom f  `  (RingCatALTV `  U ) )  Fn  ( ( U  i^i  Ring )  X.  ( U  i^i  Ring ) ) )
43 inex1g 4539 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  i^i  Ring )  e.  _V )
4435, 42, 43isssc 15803 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  ( J  C_cat  ( Hom f  `  (RingCatALTV `  U ) )  <-> 
( C  C_  ( U  i^i  Ring )  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  (
x J y ) 
C_  ( x ( Hom f  `  (RingCatALTV `  U ) ) y ) ) ) )
458, 32, 44mpbir2and 936 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  J  C_cat  ( Hom f  `  (RingCatALTV `  U ) ) )
461elin2 3612 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  C  <->  ( x  e.  U  /\  x  e.  S ) )
474adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  Ring )
4846, 47sylbi 200 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  Ring )
4948adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  Ring )
50 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( Base `  x )  =  (
Base `  x )
5150idrhm 18037 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Ring  ->  (  _I  |`  ( Base `  x
) )  e.  ( x RingHom  x ) )
5249, 51syl 17 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  (  _I  |`  ( Base `  x ) )  e.  ( x RingHom  x
) )
53 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Id
`  (RingCatALTV `  U ) )  =  ( Id `  (RingCatALTV `
 U ) )
54 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  U  e.  V )
5510, 11, 53, 54, 14, 50ringcidALTV 40564 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  ( ( Id `  (RingCatALTV `
 U ) ) `
 x )  =  (  _I  |`  ( Base `  x ) ) )
5620a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  J  =  ( r  e.  C ,  s  e.  C  |->  ( r RingHom 
s ) ) )
57 oveq12 6317 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  x  /\  s  =  x )  ->  ( r RingHom  s )  =  ( x RingHom  x
) )
5857adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( r  =  x  /\  s  =  x ) )  -> 
( r RingHom  s )  =  ( x RingHom  x
) )
59 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
60 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( x RingHom  x )  e.  _V
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  ( x RingHom  x )  e.  _V )
6256, 58, 59, 59, 61ovmpt2d 6443 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  ( x J x )  =  ( x RingHom  x ) )
6352, 55, 623eltr4d 2564 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  ( ( Id `  (RingCatALTV `
 U ) ) `
 x )  e.  ( x J x ) )
64 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  (comp `  (RingCatALTV `
 U ) )  =  (comp `  (RingCatALTV `  U ) )
6510ringccatALTV 40563 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  V  ->  (RingCatALTV `  U )  e.  Cat )
6665ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
(RingCatALTV `  U )  e. 
Cat )
6714adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
6867adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
6916ad2ant2r 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
y  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
7069adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
713, 1srhmsubcALTVlem2 40603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  V  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
7271ad2ant2rl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
z  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
7372adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  (RingCatALTV `  U ) ) )
7454adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  ->  U  e.  V )
75 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  C  /\  z  e.  C )  ->  y  e.  C )
7659, 75anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )
7774, 76jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) ) )
783, 1, 20srhmsubcALTVlem3 40604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x J y )  =  ( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U
) ) y ) )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x J y )  =  ( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) y ) )
8079eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( f  e.  ( x J y )  <-> 
f  e.  ( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) y ) ) )
8180biimpcd 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( x J y )  ->  (
( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) y ) ) )
8281adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) )  ->  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C
) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) y ) ) )
8382impcom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
f  e.  ( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) y ) )
843, 1, 20srhmsubcALTVlem3 40604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C
) )  ->  (
y J z )  =  ( y ( Hom  `  (RingCatALTV `  U
) ) z ) )
8584adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( y J z )  =  ( y ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) z ) )
8685eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( g  e.  ( y J z )  <-> 
g  e.  ( y ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) z ) ) )
8786biimpd 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( g  e.  ( y J z )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) z ) ) )
8887adantld 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) z ) ) )
8988imp 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
g  e.  ( y ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) z ) )
9011, 13, 64, 66, 68, 70, 73, 83, 89catcocl 15669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  (RingCatALTV `  U
) ) z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) z ) )
9110, 11, 74, 13, 67, 72ringchomALTV 40558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U ) ) z )  =  ( x RingHom  z ) )
9291eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x RingHom  z )  =  ( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U
) ) z ) )
9392adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
( x RingHom  z )  =  ( x ( Hom  `  (RingCatALTV `  U
) ) z ) )
9490, 93eleqtrrd 2552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  (RingCatALTV `  U
) ) z ) f )  e.  ( x RingHom  z ) )
9520a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  ->  J  =  ( r  e.  C ,  s  e.  C  |->  ( r RingHom  s
) ) )
96 oveq12 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  =  x  /\  s  =  z )  ->  ( r RingHom  s )  =  ( x RingHom  z
) )
9796adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( r  =  x  /\  s  =  z ) )  ->  ( r RingHom  s
)  =  ( x RingHom 
z ) )
9859adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  ->  x  e.  C )
99 simprr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
z  e.  C )
100 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( x RingHom 
z )  e.  _V
101100a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x RingHom  z )  e.  _V )
10295, 97, 98, 99, 101ovmpt2d 6443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x J z )  =  ( x RingHom 
z ) )
103102adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
( x J z )  =  ( x RingHom 
z ) )
10494, 103eleqtrrd 2552 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  (RingCatALTV `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
105104ralrimivva 2814 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  ->  A. f  e.  (
x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  (RingCatALTV `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
106105ralrimivva 2814 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  A. y  e.  C  A. z  e.  C  A. f  e.  (
x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  (RingCatALTV `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
10763, 106jca 541 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  ( ( ( Id
`  (RingCatALTV `  U ) ) `
 x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  C  A. z  e.  C  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  (RingCatALTV `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
108107ralrimiva 2809 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  A. x  e.  C  ( (
( Id `  (RingCatALTV `  U ) ) `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  C  A. z  e.  C  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  (RingCatALTV `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
10929, 53, 64, 65, 35issubc2 15819 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  ( J  e.  (Subcat `  (RingCatALTV `  U ) )  <->  ( J  C_cat  ( Hom f  `  (RingCatALTV `  U ) )  /\  A. x  e.  C  ( ( ( Id `  (RingCatALTV `  U
) ) `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  C  A. z  e.  C  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  (RingCatALTV `  U ) ) z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
11045, 108, 109mpbir2and 936 1  |-  ( U  e.  V  ->  J  e.  (Subcat `  (RingCatALTV `  U
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395    _I cid 4749    X. cxp 4837    |` cres 4841    Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   Basecbs 15199   Hom chom 15279  compcco 15280   Catccat 15648   Idccid 15649   Hom f chomf 15650    C_cat cssc 15790  Subcatcsubc 15792   Ringcrg 17858   RingHom crh 18018  RingCatALTVcringcALTV 40514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-cat 15652  df-cid 15653  df-homf 15654  df-ssc 15793  df-subc 15795  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-ghm 16959  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-rnghom 18021  df-ringcALTV 40516
This theorem is referenced by:  sringcatALTV  40606  crhmsubcALTV  40607  drhmsubcALTV  40609  fldhmsubcALTV  40613
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