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Theorem srhmsubc 33028
Description: According to df-subc 15228, the subcategories  (Subcat `  C ) of a category  C are subsets of the homomorphisms of  C ( see subcssc 15256 and subcss2 15259). Therefore, the set of special ring homomorphisms (i.e. ring homomorphisms from a special ring to another ring of that kind) is a "subcategory" of the category of (unital) rings. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubc.s  |-  A. r  e.  S  r  e.  Ring
srhmsubc.c  |-  C  =  ( U  i^i  S
)
srhmsubc.j  |-  J  =  ( r  e.  C ,  s  e.  C  |->  ( r RingHom  s ) )
Assertion
Ref Expression
srhmsubc  |-  ( U  e.  V  ->  J  e.  (Subcat `  (RingCat `  U
) ) )
Distinct variable groups:    S, r    C, r, s    U, r, s    V, r, s
Allowed substitution hints:    S( s)    J( s, r)

Proof of Theorem srhmsubc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srhmsubc.c . . . 4  |-  C  =  ( U  i^i  S
)
2 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( r  =  x  ->  (
r  e.  Ring  <->  x  e.  Ring ) )
3 srhmsubc.s . . . . . . 7  |-  A. r  e.  S  r  e.  Ring
42, 3vtoclri 3184 . . . . . 6  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  Ring )
54ssriv 3503 . . . . 5  |-  S  C_  Ring
6 sslin 3720 . . . . 5  |-  ( S 
C_  Ring  ->  ( U  i^i  S )  C_  ( U  i^i  Ring ) )
75, 6mp1i 12 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  i^i  S )  C_  ( U  i^i  Ring )
)
81, 7syl5eqss 3543 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  C  C_  ( U  i^i  Ring ) )
9 ssid 3518 . . . . . 6  |-  ( x RingHom 
y )  C_  (
x RingHom  y )
10 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (RingCat `  U
)  =  (RingCat `  U
)
11 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (RingCat `  U )
)  =  ( Base `  (RingCat `  U )
)
12 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  U  e.  V )
13 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Hom  `  (RingCat `  U )
)  =  ( Hom  `  (RingCat `  U )
)
143, 1srhmsubclem2 33026 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( Base `  (RingCat `  U )
) )
1514adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  x  e.  ( Base `  (RingCat `  U ) ) )
163, 1srhmsubclem2 33026 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  V  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  ( Base `  (RingCat `  U )
) )
1716adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  y  e.  ( Base `  (RingCat `  U ) ) )
1810, 11, 12, 13, 15, 17ringchom 32965 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x ( Hom  `  (RingCat `  U ) ) y )  =  ( x RingHom 
y ) )
199, 18syl5sseqr 3548 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x RingHom  y )  C_  (
x ( Hom  `  (RingCat `  U ) ) y ) )
20 srhmsubc.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( r  e.  C ,  s  e.  C  |->  ( r RingHom  s ) )
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  J  =  ( r  e.  C ,  s  e.  C  |->  ( r RingHom  s
) ) )
22 oveq12 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  x  /\  s  =  y )  ->  ( r RingHom  s )  =  ( x RingHom  y
) )
2322adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  /\  (
r  =  x  /\  s  =  y )
)  ->  ( r RingHom  s )  =  ( x RingHom 
y ) )
24 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  x  e.  C )
25 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  y  e.  C )
26 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( x RingHom 
y )  e.  _V
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x RingHom  y )  e.  _V )
2821, 23, 24, 25, 27ovmpt2d 6429 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x J y )  =  ( x RingHom  y
) )
29 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( Hom f  `  (RingCat `  U ) )  =  ( Hom f  `  (RingCat `  U
) )
3029, 11, 13, 15, 17homfval 15108 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x ( Hom f  `  (RingCat `  U
) ) y )  =  ( x ( Hom  `  (RingCat `  U
) ) y ) )
3119, 28, 303sstr4d 3542 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x J y ) 
C_  ( x ( Hom f  `  (RingCat `  U )
) y ) )
3231ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x J y )  C_  ( x ( Hom f  `  (RingCat `  U ) ) y ) )
33 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( r RingHom 
s )  e.  _V
3420, 33fnmpt2i 6868 . . . . 5  |-  J  Fn  ( C  X.  C
)
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  J  Fn  ( C  X.  C
) )
3629, 11homffn 15109 . . . . 5  |-  ( Hom f  `  (RingCat `  U ) )  Fn  ( ( Base `  (RingCat `  U )
)  X.  ( Base `  (RingCat `  U )
) )
37 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  V )
3810, 11, 37ringcbas 32963 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  V  ->  ( Base `  (RingCat `  U
) )  =  ( U  i^i  Ring )
)
3938eqcomd 2465 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  i^i  Ring )  =  (
Base `  (RingCat `  U
) ) )
4039sqxpeqd 5034 . . . . . 6  |-  ( U  e.  V  ->  (
( U  i^i  Ring )  X.  ( U  i^i  Ring ) )  =  ( ( Base `  (RingCat `  U ) )  X.  ( Base `  (RingCat `  U ) ) ) )
4140fneq2d 5678 . . . . 5  |-  ( U  e.  V  ->  (
( Hom f  `  (RingCat `  U
) )  Fn  (
( U  i^i  Ring )  X.  ( U  i^i  Ring ) )  <->  ( Hom f  `  (RingCat `  U ) )  Fn  ( ( Base `  (RingCat `  U ) )  X.  ( Base `  (RingCat `  U ) ) ) ) )
4236, 41mpbiri 233 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  ( Hom f  `  (RingCat `  U )
)  Fn  ( ( U  i^i  Ring )  X.  ( U  i^i  Ring ) ) )
43 inex1g 4599 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  i^i  Ring )  e.  _V )
4435, 42, 43isssc 15236 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  ( J  C_cat  ( Hom f  `  (RingCat `  U
) )  <->  ( C  C_  ( U  i^i  Ring )  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x J y )  C_  (
x ( Hom f  `  (RingCat `  U
) ) y ) ) ) )
458, 32, 44mpbir2and 922 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  J  C_cat  ( Hom f  `  (RingCat `  U )
) )
461elin2 3685 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  C  <->  ( x  e.  U  /\  x  e.  S ) )
474adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  Ring )
4846, 47sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  Ring )
4948adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  Ring )
50 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  x )  =  (
Base `  x )
5150idrhm 17507 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Ring  ->  (  _I  |`  ( Base `  x
) )  e.  ( x RingHom  x ) )
5249, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  (  _I  |`  ( Base `  x ) )  e.  ( x RingHom  x
) )
53 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( Id
`  (RingCat `  U )
)  =  ( Id
`  (RingCat `  U )
)
54 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  U  e.  V )
5510, 11, 53, 54, 14, 50ringcid 32977 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  ( ( Id `  (RingCat `  U ) ) `
 x )  =  (  _I  |`  ( Base `  x ) ) )
5620a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  J  =  ( r  e.  C ,  s  e.  C  |->  ( r RingHom 
s ) ) )
57 oveq12 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  x  /\  s  =  x )  ->  ( r RingHom  s )  =  ( x RingHom  x
) )
5857adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( r  =  x  /\  s  =  x ) )  -> 
( r RingHom  s )  =  ( x RingHom  x
) )
59 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
60 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( x RingHom  x )  e.  _V
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  ( x RingHom  x )  e.  _V )
6256, 58, 59, 59, 61ovmpt2d 6429 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  ( x J x )  =  ( x RingHom  x ) )
6352, 55, 623eltr4d 2560 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  ( ( Id `  (RingCat `  U ) ) `
 x )  e.  ( x J x ) )
64 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (comp `  (RingCat `  U ) )  =  (comp `  (RingCat `  U ) )
6510ringccat 32976 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  V  ->  (RingCat `  U )  e.  Cat )
6665ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
(RingCat `  U )  e. 
Cat )
6714adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  (RingCat `  U )
) )
6867adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  (RingCat `  U )
) )
6916ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
y  e.  ( Base `  (RingCat `  U )
) )
7069adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  (RingCat `  U )
) )
713, 1srhmsubclem2 33026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  V  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  ( Base `  (RingCat `  U )
) )
7271ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
z  e.  ( Base `  (RingCat `  U )
) )
7372adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  (RingCat `  U )
) )
7454adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  ->  U  e.  V )
75 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  C  /\  z  e.  C )  ->  y  e.  C )
7659, 75anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )
7774, 76jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) ) )
783, 1, 20srhmsubclem3 33027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x J y )  =  ( x ( Hom  `  (RingCat `  U
) ) y ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x J y )  =  ( x ( Hom  `  (RingCat `  U ) ) y ) )
8079eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( f  e.  ( x J y )  <-> 
f  e.  ( x ( Hom  `  (RingCat `  U ) ) y ) ) )
8180biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( x J y )  ->  (
( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  (RingCat `  U )
) y ) ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) )  ->  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C
) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  (RingCat `  U )
) y ) ) )
8382impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
f  e.  ( x ( Hom  `  (RingCat `  U ) ) y ) )
843, 1, 20srhmsubclem3 33027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C
) )  ->  (
y J z )  =  ( y ( Hom  `  (RingCat `  U
) ) z ) )
8584adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( y J z )  =  ( y ( Hom  `  (RingCat `  U ) ) z ) )
8685eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( g  e.  ( y J z )  <-> 
g  e.  ( y ( Hom  `  (RingCat `  U ) ) z ) ) )
8786biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( g  e.  ( y J z )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  (RingCat `  U ) ) z ) ) )
8887adantld 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  (RingCat `  U )
) z ) ) )
8988imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
g  e.  ( y ( Hom  `  (RingCat `  U ) ) z ) )
9011, 13, 64, 66, 68, 70, 73, 83, 89catcocl 15102 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  (RingCat `  U
) ) z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  (RingCat `  U ) ) z ) )
9110, 11, 74, 13, 67, 72ringchom 32965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x ( Hom  `  (RingCat `  U )
) z )  =  ( x RingHom  z ) )
9291eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x RingHom  z )  =  ( x ( Hom  `  (RingCat `  U
) ) z ) )
9392adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
( x RingHom  z )  =  ( x ( Hom  `  (RingCat `  U
) ) z ) )
9490, 93eleqtrrd 2548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  (RingCat `  U
) ) z ) f )  e.  ( x RingHom  z ) )
9520a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  ->  J  =  ( r  e.  C ,  s  e.  C  |->  ( r RingHom  s
) ) )
96 oveq12 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  =  x  /\  s  =  z )  ->  ( r RingHom  s )  =  ( x RingHom  z
) )
9796adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( r  =  x  /\  s  =  z ) )  ->  ( r RingHom  s
)  =  ( x RingHom 
z ) )
9859adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  ->  x  e.  C )
99 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
z  e.  C )
100 ovex 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( x RingHom 
z )  e.  _V
101100a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x RingHom  z )  e.  _V )
10295, 97, 98, 99, 101ovmpt2d 6429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  -> 
( x J z )  =  ( x RingHom 
z ) )
103102adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
( x J z )  =  ( x RingHom 
z ) )
10494, 103eleqtrrd 2548 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  /\  (
y  e.  C  /\  z  e.  C )
)  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  (RingCat `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
105104ralrimivva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C
)  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  C ) )  ->  A. f  e.  (
x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  (RingCat `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
106105ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  A. y  e.  C  A. z  e.  C  A. f  e.  (
x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  (RingCat `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
10763, 106jca 532 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  C )  ->  ( ( ( Id
`  (RingCat `  U )
) `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  C  A. z  e.  C  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  (RingCat `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
108107ralrimiva 2871 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  A. x  e.  C  ( (
( Id `  (RingCat `  U ) ) `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  C  A. z  e.  C  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  (RingCat `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
10929, 53, 64, 65, 35issubc2 15252 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  ( J  e.  (Subcat `  (RingCat `  U ) )  <->  ( J  C_cat  ( Hom f  `  (RingCat `  U )
)  /\  A. x  e.  C  ( (
( Id `  (RingCat `  U ) ) `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  C  A. z  e.  C  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  (RingCat `  U
) ) z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
11045, 108, 109mpbir2and 922 1  |-  ( U  e.  V  ->  J  e.  (Subcat `  (RingCat `  U
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   <.cop 4038   class class class wbr 4456    _I cid 4799    X. cxp 5006    |` cres 5010    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   Basecbs 14644   Hom chom 14723  compcco 14724   Catccat 15081   Idccid 15082   Hom f chomf 15083    C_cat cssc 15223  Subcatcsubc 15225   Ringcrg 17325   RingHom crh 17488  RingCatcringc 32955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-cat 15085  df-cid 15086  df-homf 15087  df-ssc 15226  df-resc 15227  df-subc 15228  df-estrc 15519  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-ghm 16392  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-rnghom 17491  df-ringc 32957
This theorem is referenced by:  sringcat  33029  crhmsubc  33030  drhmsubc  33032  fldhmsubc  33036
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