Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgrmhm Structured version   Unicode version

Theorem srgrmhm 16740
 Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to rngrghm 16800. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b
srglmhm.t
Assertion
Ref Expression
srgrmhm SRing MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem srgrmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 16716 . . . 4 SRing
21, 1jca 532 . . 3 SRing
4 srglmhm.b . . . . . . 7
5 srglmhm.t . . . . . . 7
64, 5srgcl 16719 . . . . . 6 SRing
763com23 1194 . . . . 5 SRing
873expa 1188 . . . 4 SRing
9 eqid 2451 . . . 4
108, 9fmptd 5966 . . 3 SRing
11 3anrot 970 . . . . . . . 8
12 3anass 969 . . . . . . . 8
1311, 12bitr3i 251 . . . . . . 7
14 eqid 2451 . . . . . . . 8
154, 14, 5srgdir 16723 . . . . . . 7 SRing
1613, 15sylan2br 476 . . . . . 6 SRing
1716anassrs 648 . . . . 5 SRing
184, 14mndcl 15522 . . . . . . . . 9
191, 18syl3an1 1252 . . . . . . . 8 SRing
20193expb 1189 . . . . . . 7 SRing
2120adantlr 714 . . . . . 6 SRing
22 oveq1 6197 . . . . . . 7
23 ovex 6215 . . . . . . 7
2422, 9, 23fvmpt 5873 . . . . . 6
2521, 24syl 16 . . . . 5 SRing
26 oveq1 6197 . . . . . . . 8
27 ovex 6215 . . . . . . . 8
2826, 9, 27fvmpt 5873 . . . . . . 7
29 oveq1 6197 . . . . . . . 8
30 ovex 6215 . . . . . . . 8
3129, 9, 30fvmpt 5873 . . . . . . 7
3228, 31oveqan12d 6209 . . . . . 6
3332adantl 466 . . . . 5 SRing
3417, 25, 333eqtr4d 2502 . . . 4 SRing
3534ralrimivva 2904 . . 3 SRing
36 eqid 2451 . . . . . . 7
374, 36srg0cl 16725 . . . . . 6 SRing
3837adantr 465 . . . . 5 SRing
39 oveq1 6197 . . . . . 6
40 ovex 6215 . . . . . 6
4139, 9, 40fvmpt 5873 . . . . 5
4238, 41syl 16 . . . 4 SRing
434, 5, 36srglz 16733 . . . 4 SRing
4442, 43eqtrd 2492 . . 3 SRing
4510, 35, 443jca 1168 . 2 SRing
464, 4, 14, 14, 36, 36ismhm 15568 . 2 MndHom
473, 45, 46sylanbrc 664 1 SRing MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2795   cmpt 4448  wf 5512  cfv 5516  (class class class)co 6190  cbs 14276   cplusg 14340  cmulr 14341  c0g 14480  cmnd 15511   MndHom cmhm 15564  SRingcsrg 16712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-mhm 15566  df-cmn 16383  df-mgp 16697  df-srg 16713 This theorem is referenced by:  srgsummulcr  16741
 Copyright terms: Public domain W3C validator