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Theorem srgrmhm 16740
Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to rngrghm 16800. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srglmhm.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
srgrmhm  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, R    x, X    x,  .x.

Proof of Theorem srgrmhm
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 16716 . . . 4  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
21, 1jca 532 . . 3  |-  ( R  e. SRing  ->  ( R  e. 
Mnd  /\  R  e.  Mnd ) )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  R  e.  Mnd ) )
4 srglmhm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 srglmhm.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
64, 5srgcl 16719 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
x  .x.  X )  e.  B )
763com23 1194 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .x.  X )  e.  B )
873expa 1188 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .x.  X )  e.  B )
9 eqid 2451 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) )
108, 9fmptd 5966 . . 3  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) : B --> B )
11 3anrot 970 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  <->  ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  X  e.  B )
)
12 3anass 969 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  <->  ( X  e.  B  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) ) )
1311, 12bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  X  e.  B )  <->  ( X  e.  B  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) ) )
14 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
154, 14, 5srgdir 16723 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
a ( +g  `  R
) b )  .x.  X )  =  ( ( a  .x.  X
) ( +g  `  R
) ( b  .x.  X ) ) )
1613, 15sylan2br 476 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( X  e.  B  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) ) )  -> 
( ( a ( +g  `  R ) b )  .x.  X
)  =  ( ( a  .x.  X ) ( +g  `  R
) ( b  .x.  X ) ) )
1716anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
a ( +g  `  R
) b )  .x.  X )  =  ( ( a  .x.  X
) ( +g  `  R
) ( b  .x.  X ) ) )
184, 14mndcl 15522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  ( a ( +g  `  R ) b )  e.  B )
191, 18syl3an1 1252 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
a ( +g  `  R
) b )  e.  B )
20193expb 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( a
( +g  `  R ) b )  e.  B
)
2120adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( a
( +g  `  R ) b )  e.  B
)
22 oveq1 6197 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  R ) b )  ->  (
x  .x.  X )  =  ( ( a ( +g  `  R
) b )  .x.  X ) )
23 ovex 6215 . . . . . . 7  |-  ( ( a ( +g  `  R
) b )  .x.  X )  e.  _V
2422, 9, 23fvmpt 5873 . . . . . 6  |-  ( ( a ( +g  `  R
) b )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( ( a ( +g  `  R
) b )  .x.  X ) )
2521, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( ( a ( +g  `  R
) b )  .x.  X ) )
26 oveq1 6197 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x  .x.  X )  =  ( a  .x.  X ) )
27 ovex 6215 . . . . . . . 8  |-  ( a 
.x.  X )  e. 
_V
2826, 9, 27fvmpt 5873 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) `  a
)  =  ( a 
.x.  X ) )
29 oveq1 6197 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x  .x.  X )  =  ( b  .x.  X ) )
30 ovex 6215 . . . . . . . 8  |-  ( b 
.x.  X )  e. 
_V
3129, 9, 30fvmpt 5873 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) `  b
)  =  ( b 
.x.  X ) )
3228, 31oveqan12d 6209 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 a ) ( +g  `  R ) ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  b ) )  =  ( ( a  .x.  X ) ( +g  `  R ) ( b 
.x.  X ) ) )
3332adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) `  a
) ( +g  `  R
) ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 b ) )  =  ( ( a 
.x.  X ) ( +g  `  R ) ( b  .x.  X
) ) )
3417, 25, 333eqtr4d 2502 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  a ) ( +g  `  R
) ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 b ) ) )
3534ralrimivva 2904 . . 3  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  a ) ( +g  `  R
) ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 b ) ) )
36 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
374, 36srg0cl 16725 . . . . . 6  |-  ( R  e. SRing  ->  ( 0g `  R )  e.  B
)
3837adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
39 oveq1 6197 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
x  .x.  X )  =  ( ( 0g
`  R )  .x.  X ) )
40 ovex 6215 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  R ) 
.x.  X )  e. 
_V
4139, 9, 40fvmpt 5873 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  R )  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g
`  R )  .x.  X ) )
4238, 41syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g
`  R )  .x.  X ) )
434, 5, 36srglz 16733 . . . 4  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
4442, 43eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
4510, 35, 443jca 1168 . 2  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) : B --> B  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 ( a ( +g  `  R ) b ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 a ) ( +g  `  R ) ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  b ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) ) )
464, 4, 14, 14, 36, 36ismhm 15568 . 2  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) )  e.  ( R MndHom  R )  <->  ( ( R  e.  Mnd  /\  R  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) : B --> B  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 ( a ( +g  `  R ) b ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 a ) ( +g  `  R ) ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  b ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
473, 45, 46sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    |-> cmpt 4448   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   .rcmulr 14341   0gc0g 14480   Mndcmnd 15511   MndHom cmhm 15564  SRingcsrg 16712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-mhm 15566  df-cmn 16383  df-mgp 16697  df-srg 16713
This theorem is referenced by:  srgsummulcr  16741
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