MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcomp Structured version   Unicode version

Theorem srgpcomp 17315
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if one of the elements is raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgpcomp.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgpcomp.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgpcomp.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
srgpcomp.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
srgpcomp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
srgpcomp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
srgpcomp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
srgpcomp.c  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
Assertion
Ref Expression
srgpcomp  |-  ( ph  ->  ( ( K  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( K  .^  B ) ) )

Proof of Theorem srgpcomp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2 oveq1 6221 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .^  B )  =  ( 0  .^  B ) )
32oveq1d 6229 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  .^  B
)  .X.  A )  =  ( ( 0 
.^  B )  .X.  A ) )
42oveq2d 6230 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A  .X.  ( x  .^  B ) )  =  ( A  .X.  (
0  .^  B )
) )
53, 4eqeq12d 2414 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( x  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( x  .^  B ) )  <->  ( (
0  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( 0 
.^  B ) ) ) )
65imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( x  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( x  .^  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( 0  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( 0 
.^  B ) ) ) ) )
7 oveq1 6221 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .^  B )  =  ( y  .^  B ) )
87oveq1d 6229 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .^  B
)  .X.  A )  =  ( ( y 
.^  B )  .X.  A ) )
97oveq2d 6230 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .X.  ( x  .^  B ) )  =  ( A  .X.  (
y  .^  B )
) )
108, 9eqeq12d 2414 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( x  .^  B ) )  <->  ( (
y  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( y  .^  B ) ) ) )
1110imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( ( x  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( x  .^  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( y  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( y  .^  B ) ) ) ) )
12 oveq1 6221 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .^  B )  =  ( ( y  +  1 )  .^  B ) )
1312oveq1d 6229 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  .^  B
)  .X.  A )  =  ( ( ( y  +  1 ) 
.^  B )  .X.  A ) )
1412oveq2d 6230 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A  .X.  ( x  .^  B ) )  =  ( A  .X.  (
( y  +  1 )  .^  B )
) )
1513, 14eqeq12d 2414 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( x  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( x  .^  B ) )  <->  ( (
( y  +  1 )  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( (
y  +  1 ) 
.^  B ) ) ) )
1615imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( x  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( x  .^  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( ( y  +  1 )  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( (
y  +  1 ) 
.^  B ) ) ) ) )
17 oveq1 6221 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
x  .^  B )  =  ( K  .^  B ) )
1817oveq1d 6229 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( x  .^  B
)  .X.  A )  =  ( ( K 
.^  B )  .X.  A ) )
1917oveq2d 6230 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  ( A  .X.  ( x  .^  B ) )  =  ( A  .X.  ( K  .^  B ) ) )
2018, 19eqeq12d 2414 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( x  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( x  .^  B ) )  <->  ( ( K  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( K  .^  B ) ) ) )
2120imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  (
( ph  ->  ( ( x  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( x  .^  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( K  .^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( K  .^  B ) ) ) ) )
22 srgpcomp.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
23 srgpcomp.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (mulGrp `  R )
24 srgpcomp.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( Base `  R
)
2523, 24mgpbas 17279 . . . . . . 7  |-  S  =  ( Base `  G
)
26 eqid 2392 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2723, 26ringidval 17287 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  G
)
28 srgpcomp.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  G )
2925, 27, 28mulg0 16283 . . . . . 6  |-  ( B  e.  S  ->  (
0  .^  B )  =  ( 1r `  R ) )
3022, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  .^  B
)  =  ( 1r
`  R ) )
3130oveq1d 6229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0  .^  B )  .X.  A
)  =  ( ( 1r `  R ) 
.X.  A ) )
32 srgpcomp.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
33 srgpcomp.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
34 srgpcomp.m . . . . . . 7  |-  .X.  =  ( .r `  R )
3524, 34, 26srgridm 17305 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  A  e.  S )  ->  ( A  .X.  ( 1r `  R ) )  =  A )
3632, 33, 35syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  ( 1r `  R ) )  =  A )
3730oveq2d 6230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  (
0  .^  B )
)  =  ( A 
.X.  ( 1r `  R ) ) )
3824, 34, 26srglidm 17304 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  A  e.  S )  ->  (
( 1r `  R
)  .X.  A )  =  A )
3932, 33, 38syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  A
)  =  A )
4036, 37, 393eqtr4rd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( 0  .^  B ) ) )
4131, 40eqtrd 2433 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 0  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( 0  .^  B ) ) )
4223srgmgp 17294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e. SRing  ->  G  e.  Mnd )
4332, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
4443adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  G  e.  Mnd )
45 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  y  e.  NN0 )
4622adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  B  e.  S )
4723, 34mgpplusg 17277 . . . . . . . . . . . 12  |-  .X.  =  ( +g  `  G )
4825, 28, 47mulgnn0p1 16289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  B  e.  S )  ->  (
( y  +  1 )  .^  B )  =  ( ( y 
.^  B )  .X.  B ) )
4944, 45, 46, 48syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
y  +  1 ) 
.^  B )  =  ( ( y  .^  B )  .X.  B
) )
5049oveq1d 6229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
( y  +  1 )  .^  B )  .X.  A )  =  ( ( ( y  .^  B )  .X.  B
)  .X.  A )
)
51 srgpcomp.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
5251eqcomd 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  B ) )
5352adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( B  .X.  A )  =  ( A  .X.  B )
)
5453oveq2d 6230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
y  .^  B )  .X.  ( B  .X.  A
) )  =  ( ( y  .^  B
)  .X.  ( A  .X.  B ) ) )
5532adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e. SRing )
5625, 28mulgnn0cl 16294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  B  e.  S )  ->  (
y  .^  B )  e.  S )
5744, 45, 46, 56syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( y  .^  B )  e.  S
)
5833adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  A  e.  S )
5924, 34srgass 17297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( y  .^  B
)  e.  S  /\  B  e.  S  /\  A  e.  S )
)  ->  ( (
( y  .^  B
)  .X.  B )  .X.  A )  =  ( ( y  .^  B
)  .X.  ( B  .X.  A ) ) )
6055, 57, 46, 58, 59syl13anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
( y  .^  B
)  .X.  B )  .X.  A )  =  ( ( y  .^  B
)  .X.  ( B  .X.  A ) ) )
6124, 34srgass 17297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( y  .^  B
)  e.  S  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )
)  ->  ( (
( y  .^  B
)  .X.  A )  .X.  B )  =  ( ( y  .^  B
)  .X.  ( A  .X.  B ) ) )
6255, 57, 58, 46, 61syl13anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
( y  .^  B
)  .X.  A )  .X.  B )  =  ( ( y  .^  B
)  .X.  ( A  .X.  B ) ) )
6354, 60, 623eqtr4d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
( y  .^  B
)  .X.  B )  .X.  A )  =  ( ( ( y  .^  B )  .X.  A
)  .X.  B )
)
6450, 63eqtrd 2433 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
( y  +  1 )  .^  B )  .X.  A )  =  ( ( ( y  .^  B )  .X.  A
)  .X.  B )
)
6564adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN0 )  /\  (
( y  .^  B
)  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( y  .^  B
) ) )  -> 
( ( ( y  +  1 )  .^  B )  .X.  A
)  =  ( ( ( y  .^  B
)  .X.  A )  .X.  B ) )
66 oveq1 6221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  .^  B
)  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( y  .^  B
) )  ->  (
( ( y  .^  B )  .X.  A
)  .X.  B )  =  ( ( A 
.X.  ( y  .^  B ) )  .X.  B ) )
6724, 34srgass 17297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  ( y  .^  B
)  e.  S  /\  B  e.  S )
)  ->  ( ( A  .X.  ( y  .^  B ) )  .X.  B )  =  ( A  .X.  ( (
y  .^  B )  .X.  B ) ) )
6855, 58, 57, 46, 67syl13anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( A  .X.  ( y  .^  B ) )  .X.  B )  =  ( A  .X.  ( (
y  .^  B )  .X.  B ) ) )
6949eqcomd 2400 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
y  .^  B )  .X.  B )  =  ( ( y  +  1 )  .^  B )
)
7069oveq2d 6230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( A  .X.  ( ( y  .^  B )  .X.  B
) )  =  ( A  .X.  ( (
y  +  1 ) 
.^  B ) ) )
7168, 70eqtrd 2433 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( A  .X.  ( y  .^  B ) )  .X.  B )  =  ( A  .X.  ( (
y  +  1 ) 
.^  B ) ) )
7266, 71sylan9eqr 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN0 )  /\  (
( y  .^  B
)  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( y  .^  B
) ) )  -> 
( ( ( y 
.^  B )  .X.  A )  .X.  B
)  =  ( A 
.X.  ( ( y  +  1 )  .^  B ) ) )
7365, 72eqtrd 2433 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN0 )  /\  (
( y  .^  B
)  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( y  .^  B
) ) )  -> 
( ( ( y  +  1 )  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( ( y  +  1 )  .^  B ) ) )
7473ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
( y  .^  B
)  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( y  .^  B
) )  ->  (
( ( y  +  1 )  .^  B
)  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( ( y  +  1 )  .^  B
) ) ) )
7574expcom 433 . . . 4  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( ( y 
.^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( y  .^  B ) )  -> 
( ( ( y  +  1 )  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( ( y  +  1 )  .^  B ) ) ) ) )
7675a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( ( y 
.^  B )  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( y  .^  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( y  +  1 )  .^  B
)  .X.  A )  =  ( A  .X.  ( ( y  +  1 )  .^  B
) ) ) ) )
776, 11, 16, 21, 41, 76nn0ind 10892 . 2  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( K  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( K  .^  B ) ) ) )
781, 77mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( ( K  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( K  .^  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   0cc0 9421   1c1 9422    + caddc 9424   NN0cn0 10730   Basecbs 14653   .rcmulr 14722   Mndcmnd 16055  .gcmg 16192  mulGrpcmgp 17273   1rcur 17285  SRingcsrg 17289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-2 10529  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-fz 11612  df-seq 12030  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-plusg 14734  df-0g 14868  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-mulg 16196  df-mgp 17274  df-ur 17286  df-srg 17290
This theorem is referenced by:  srgpcompp  17316  mplcoe5lem  18262
  Copyright terms: Public domain W3C validator