Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srglmhm Structured version   Unicode version

Theorem srglmhm 16741
 Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to rnglghm 16801. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b
srglmhm.t
Assertion
Ref Expression
srglmhm SRing MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem srglmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 16718 . . . 4 SRing
21, 1jca 532 . . 3 SRing
4 srglmhm.b . . . . . 6
5 srglmhm.t . . . . . 6
64, 5srgcl 16721 . . . . 5 SRing
763expa 1188 . . . 4 SRing
8 eqid 2451 . . . 4
97, 8fmptd 5968 . . 3 SRing
10 3anass 969 . . . . . . 7
11 eqid 2451 . . . . . . . 8
124, 11, 5srgdi 16724 . . . . . . 7 SRing
1310, 12sylan2br 476 . . . . . 6 SRing
1413anassrs 648 . . . . 5 SRing
154, 11mndcl 15524 . . . . . . . . 9
161, 15syl3an1 1252 . . . . . . . 8 SRing
17163expb 1189 . . . . . . 7 SRing
1817adantlr 714 . . . . . 6 SRing
19 oveq2 6200 . . . . . . 7
20 ovex 6217 . . . . . . 7
2119, 8, 20fvmpt 5875 . . . . . 6
2218, 21syl 16 . . . . 5 SRing
23 oveq2 6200 . . . . . . . 8
24 ovex 6217 . . . . . . . 8
2523, 8, 24fvmpt 5875 . . . . . . 7
26 oveq2 6200 . . . . . . . 8
27 ovex 6217 . . . . . . . 8
2826, 8, 27fvmpt 5875 . . . . . . 7
2925, 28oveqan12d 6211 . . . . . 6
3029adantl 466 . . . . 5 SRing
3114, 22, 303eqtr4d 2502 . . . 4 SRing
3231ralrimivva 2906 . . 3 SRing
33 eqid 2451 . . . . . . 7
344, 33srg0cl 16727 . . . . . 6 SRing
3534adantr 465 . . . . 5 SRing
36 oveq2 6200 . . . . . 6
37 ovex 6217 . . . . . 6
3836, 8, 37fvmpt 5875 . . . . 5
3935, 38syl 16 . . . 4 SRing
404, 5, 33srgrz 16734 . . . 4 SRing
4139, 40eqtrd 2492 . . 3 SRing
429, 32, 413jca 1168 . 2 SRing
434, 4, 11, 11, 33, 33ismhm 15570 . 2 MndHom
443, 42, 43sylanbrc 664 1 SRing MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2795   cmpt 4450  wf 5514  cfv 5518  (class class class)co 6192  cbs 14278   cplusg 14342  cmulr 14343  c0g 14482  cmnd 15513   MndHom cmhm 15566  SRingcsrg 16714 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-plusg 14355  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-cmn 16385  df-mgp 16699  df-srg 16715 This theorem is referenced by:  sgsummulcl  16744
 Copyright terms: Public domain W3C validator