MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgi Structured version   Unicode version

Theorem srgi 16736
Description: Properties of a semiring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
srgi.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srgi.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
srgi.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
srgi  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y )  .+  ( X  .x.  Z ) )  /\  ( ( X 
.+  Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
)  .+  ( Y  .x.  Z ) ) ) )

Proof of Theorem srgi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgi.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
3 srgi.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 srgi.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
61, 2, 3, 4, 5issrg 16732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e. SRing 
<->  ( R  e. CMnd  /\  (mulGrp `  R )  e. 
Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( ( ( 0g `  R ) 
.x.  x )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( x  .x.  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
76simp3bi 1005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e. SRing  ->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( ( ( 0g `  R ) 
.x.  x )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( x  .x.  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
87r19.21bi 2920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. SRing  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( ( ( 0g `  R ) 
.x.  x )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( x  .x.  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
98simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
109ralrimiva 2830 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. SRing  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
12 simpr1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
13 rsp 2894 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  ->  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
1411, 12, 13sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
15 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
16 rsp 2894 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
1714, 15, 16sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
18 simpr3 996 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
19 rsp 2894 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  ->  ( z  e.  B  ->  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
2017, 18, 19sylc 60 . . . 4  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
2120simpld 459 . . 3  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) ) )
2221caovdig 6388 . 2  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .x.  ( Y  .+  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Y
)  .+  ( X  .x.  Z ) ) )
2320simprd 463 . . 3  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) )
2423caovdirg 6391 . 2  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
)  .+  ( Y  .x.  Z ) ) )
2522, 24jca 532 1  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y )  .+  ( X  .x.  Z ) )  /\  ( ( X 
.+  Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
)  .+  ( Y  .x.  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   .rcmulr 14359   0gc0g 14498   Mndcmnd 15529  CMndccmn 16399  mulGrpcmgp 16714  SRingcsrg 16730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-nul 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-iota 5490  df-fv 5535  df-ov 6204  df-srg 16731
This theorem is referenced by:  srgdi  16740  srgdir  16741
  Copyright terms: Public domain W3C validator