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Theorem srgbinomlem3 16995
Description: Lemma 3 for srgbinomlem 16997. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
srgbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
srgbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
srgbinomlem.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
srgbinomlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
srgbinomlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
srgbinomlem.c  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
srgbinomlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
srgbinomlem.i  |-  ( ps 
->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    R, k    S, k    .x. , k    .X. , k    .^ , k    ph, k
Allowed substitution hints:    ps( k)    .+ ( k)    G( k)

Proof of Theorem srgbinomlem3
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . . 4  |-  ( ps 
->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
21adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
32oveq1d 6299 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  =  ( ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .X.  A
) )
4 srgbinom.s . . . . . 6  |-  S  =  ( Base `  R
)
5 srgbinom.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
6 srgbinomlem.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
7 srgcmn 16962 . . . . . . 7  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e. CMnd )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
9 srgbinomlem.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ph )
11 elfzelz 11688 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
12 bccl 12368 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
139, 11, 12syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
14 fznn0sub 11716 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
16 elfznn0 11770 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
18 srgbinom.m . . . . . . . 8  |-  .X.  =  ( .r `  R )
19 srgbinom.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  R )
20 srgbinom.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (mulGrp `  R )
21 srgbinom.e . . . . . . . 8  |-  .^  =  (.g
`  G )
22 srgbinomlem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
23 srgbinomlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
24 srgbinomlem.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
254, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 16994 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( N  _C  k )  e. 
NN0  /\  ( ( N  +  1 )  -  k )  e. 
NN0  /\  k  e.  NN0 ) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
2610, 13, 15, 17, 25syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
274, 5, 8, 9, 26gsummptfzsplit 16755 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) )
28 srgmnd 16963 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
296, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
30 ovex 6309 . . . . . . . . 9  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  _V )
32 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ph )
339nn0zd 10964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
3433peano2zd 10969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
35 bccl 12368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( N  +  1
) )  e.  NN0 )
369, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  e.  NN0 )
379nn0cnd 10854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
38 peano2cn 9751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
4039subidd 9918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  =  0 )
41 0nn0 10810 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
4240, 41syl6eqel 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  e.  NN0 )
43 peano2nn0 10836 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
449, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
454, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 16994 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( N  _C  ( N  + 
1 ) )  e. 
NN0  /\  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  e. 
NN0  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( N  _C  ( N  +  1
) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) )  e.  S )
4632, 36, 42, 44, 45syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) )  e.  S )
47 oveq2 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
48 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )
4948oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  .^  A ) )
50 oveq1 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
k  .^  B )  =  ( ( N  +  1 )  .^  B ) )
5149, 50oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  .^  A )  .X.  (
( N  +  1 )  .^  B )
) )
5247, 51oveq12d 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) ) )
534, 52gsumsn 16784 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( N  +  1
)  e.  _V  /\  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) )  e.  S )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  { ( N  +  1 ) } 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  .^  A )  .X.  ( ( N  + 
1 )  .^  B
) ) ) )
5429, 31, 46, 53syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) 
.^  A )  .X.  ( ( N  + 
1 )  .^  B
) ) ) )
559nn0red 10853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5655ltp1d 10476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
5756olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
58 bcval4 12353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
599, 34, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
6059oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) )  =  ( 0 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) 
.^  A )  .X.  ( ( N  + 
1 )  .^  B
) ) ) )
614, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem1 16993 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) )  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 ) )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) 
.^  A )  .X.  ( ( N  + 
1 )  .^  B
) )  e.  S
)
6232, 42, 44, 61syl12anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  .^  A )  .X.  (
( N  +  1 )  .^  B )
)  e.  S )
63 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
644, 63, 19mulg0 15957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) )  e.  S  ->  (
0  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  .^  A )  .X.  ( ( N  + 
1 )  .^  B
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
6562, 64syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
6654, 60, 653eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
6766oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( 0g `  R ) ) )
68 fzfid 12051 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
69 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ph )
70 bccl2 12369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  k )  e.  NN )
7170nnnn0d 10852 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
7271adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
73 fzelp1 11732 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
7473, 15sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
75 elfznn0 11770 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
7675adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
7769, 72, 74, 76, 25syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
7877ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) )  e.  S )
794, 8, 68, 78gsummptcl 16797 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  e.  S
)
804, 5, 63mndrid 15759 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  e.  S
)  ->  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( 0g `  R ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
8129, 79, 80syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  .+  ( 0g
`  R ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
8227, 67, 813eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
836adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  R  e. SRing )
8422adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  S )
8523adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  S )
8624adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) )
87 fznn0sub 11716 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
8887adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
894, 18, 20, 21, 83, 84, 85, 76, 86, 88, 19, 72srgpcomppsc 16987 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) 
.X.  A )  =  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
9037adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
91 1cnd 9612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
92 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
9392zcnd 10967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
9493adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
9590, 91, 94addsubd 9951 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
9695oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  =  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  .^  A ) )
9796oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )
9897oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
9989, 98eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) 
.X.  A )  =  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
10099mpteq2dva 4533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .X.  A
) )  =  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
101100oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .X.  A
) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
102 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( 0 ... N )  e. 
_V
103102a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  _V )
1044, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 16994 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( N  _C  k )  e. 
NN0  /\  ( N  -  k )  e. 
NN0  /\  k  e.  NN0 ) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( N  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
10569, 72, 88, 76, 104syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( N  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
106 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... N
)  |->  ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) )
107 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e. 
_V
108107a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( N  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e. 
_V )
109 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
110109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
111106, 68, 108, 110fsuppmptdm 7840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
1124, 63, 5, 18, 6, 103, 22, 105, 111srgsummulcr 16990 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .X.  A
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  .X.  A )
)
11382, 101, 1123eqtr2rd 2515 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  .X.  A )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
114113adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  .X.  A )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
1153, 114eqtrd 2508 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    - cmin 9805   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ...cfz 11672    _C cbc 12348   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   Mndcmnd 15726  .gcmg 15731  CMndccmn 16604  mulGrpcmgp 16943  SRingcsrg 16959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-srg 16960
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  16997
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