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Theorem srgbinomlem3 17714
Description: Lemma 3 for srgbinomlem 17716. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
srgbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
srgbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
srgbinomlem.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
srgbinomlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
srgbinomlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
srgbinomlem.c  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
srgbinomlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
srgbinomlem.i  |-  ( ps 
->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    R, k    S, k    .x. , k    .X. , k    .^ , k    ph, k
Allowed substitution hints:    ps( k)    .+ ( k)    G( k)

Proof of Theorem srgbinomlem3
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . . 4  |-  ( ps 
->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
21adantl 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
32oveq1d 6320 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  =  ( ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .X.  A
) )
4 srgbinom.s . . . . . 6  |-  S  =  ( Base `  R
)
5 srgbinom.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
6 srgbinomlem.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
7 srgcmn 17681 . . . . . . 7  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e. CMnd )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
9 srgbinomlem.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ph )
11 elfzelz 11798 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
12 bccl 12504 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
139, 11, 12syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
14 fznn0sub 11829 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
1514adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
16 elfznn0 11885 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
1716adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
18 srgbinom.m . . . . . . . 8  |-  .X.  =  ( .r `  R )
19 srgbinom.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  R )
20 srgbinom.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (mulGrp `  R )
21 srgbinom.e . . . . . . . 8  |-  .^  =  (.g
`  G )
22 srgbinomlem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
23 srgbinomlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
24 srgbinomlem.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
254, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 17713 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( N  _C  k )  e. 
NN0  /\  ( ( N  +  1 )  -  k )  e. 
NN0  /\  k  e.  NN0 ) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
2610, 13, 15, 17, 25syl13anc 1266 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
274, 5, 8, 9, 26gsummptfzsplit 17504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) )
28 srgmnd 17682 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
296, 28syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
30 ovex 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  _V )
32 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ph )
339nn0zd 11038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
3433peano2zd 11043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
35 bccl 12504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( N  +  1
) )  e.  NN0 )
369, 34, 35syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  e.  NN0 )
379nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
38 peano2cn 9804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
4039subidd 9973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  =  0 )
41 0nn0 10884 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
4240, 41syl6eqel 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  e.  NN0 )
43 peano2nn0 10910 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
449, 43syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
454, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 17713 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( N  _C  ( N  + 
1 ) )  e. 
NN0  /\  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  e. 
NN0  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( N  _C  ( N  +  1
) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) )  e.  S )
4632, 36, 42, 44, 45syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) )  e.  S )
47 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
48 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )
4948oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  .^  A ) )
50 oveq1 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
k  .^  B )  =  ( ( N  +  1 )  .^  B ) )
5149, 50oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  .^  A )  .X.  (
( N  +  1 )  .^  B )
) )
5247, 51oveq12d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) ) )
534, 52gsumsn 17526 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( N  +  1
)  e.  _V  /\  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) )  e.  S )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  { ( N  +  1 ) } 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  .^  A )  .X.  ( ( N  + 
1 )  .^  B
) ) ) )
5429, 31, 46, 53syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) 
.^  A )  .X.  ( ( N  + 
1 )  .^  B
) ) ) )
559nn0red 10926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5655ltp1d 10537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
5756olcd 394 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
58 bcval4 12489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
599, 34, 57, 58syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
6059oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) )  =  ( 0 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) 
.^  A )  .X.  ( ( N  + 
1 )  .^  B
) ) ) )
614, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem1 17712 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) )  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 ) )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) 
.^  A )  .X.  ( ( N  + 
1 )  .^  B
) )  e.  S
)
6232, 42, 44, 61syl12anc 1262 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  .^  A )  .X.  (
( N  +  1 )  .^  B )
)  e.  S )
63 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
644, 63, 19mulg0 16718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) )  e.  S  ->  (
0  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  .^  A )  .X.  ( ( N  + 
1 )  .^  B
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
6562, 64syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) )  .^  A
)  .X.  ( ( N  +  1 ) 
.^  B ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
6654, 60, 653eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
6766oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( 0g `  R ) ) )
68 fzfid 12183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
69 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ph )
70 bccl2 12505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  k )  e.  NN )
7170nnnn0d 10925 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
7271adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
73 fzelp1 11846 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
7473, 15sylan2 476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
75 elfznn0 11885 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
7675adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
7769, 72, 74, 76, 25syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
7877ralrimiva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) )  e.  S )
794, 8, 68, 78gsummptcl 17538 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  e.  S
)
804, 5, 63mndrid 16513 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  e.  S
)  ->  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( 0g `  R ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
8129, 79, 80syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  .+  ( 0g
`  R ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
8227, 67, 813eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
836adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  R  e. SRing )
8422adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  S )
8523adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  S )
8624adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) )
87 fznn0sub 11829 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
8887adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
894, 18, 20, 21, 83, 84, 85, 76, 86, 88, 19, 72srgpcomppsc 17706 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) 
.X.  A )  =  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
9037adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
91 1cnd 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
92 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
9392zcnd 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
9493adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
9590, 91, 94addsubd 10006 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
9695oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  =  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  .^  A ) )
9796oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )
9897oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
9989, 98eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) 
.X.  A )  =  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
10099mpteq2dva 4512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .X.  A
) )  =  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
101100oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .X.  A
) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
102 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( 0 ... N )  e. 
_V
103102a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  _V )
1044, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 17713 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( N  _C  k )  e. 
NN0  /\  ( N  -  k )  e. 
NN0  /\  k  e.  NN0 ) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( N  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
10569, 72, 88, 76, 104syl13anc 1266 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( N  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
106 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... N
)  |->  ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) )
107 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e. 
_V
108107a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( N  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e. 
_V )
109 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
110109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
111106, 68, 108, 110fsuppmptdm 7900 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
1124, 63, 5, 18, 6, 103, 22, 105, 111srgsummulcr 17709 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .X.  A
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  .X.  A )
)
11382, 101, 1123eqtr2rd 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  .X.  A )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
114113adantr 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  .X.  A )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
1153, 114eqtrd 2470 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674    - cmin 9859   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ...cfz 11782    _C cbc 12484   Basecbs 15084   +g cplusg 15153   .rcmulr 15154   0gc0g 15301    gsumg cgsu 15302   Mndcmnd 16490  .gcmg 16627  CMndccmn 17369  mulGrpcmgp 17662  SRingcsrg 17678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-0g 15303  df-gsum 15304  df-mre 15447  df-mrc 15448  df-acs 15450  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-mhm 16537  df-submnd 16538  df-mulg 16631  df-cntz 16926  df-cmn 17371  df-mgp 17663  df-ur 17675  df-srg 17679
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  17716
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