MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem2 Structured version   Unicode version

Theorem srgbinomlem2 17712
Description: Lemma 2 for srgbinomlem 17715. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
srgbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
srgbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
srgbinomlem.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
srgbinomlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
srgbinomlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
srgbinomlem.c  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
srgbinomlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e. 
NN0  /\  E  e.  NN0 ) )  ->  ( C  .x.  ( ( D 
.^  A )  .X.  ( E  .^  B ) ) )  e.  S
)

Proof of Theorem srgbinomlem2
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
2 srgmnd 17681 . . . 4  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
43adantr 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e. 
NN0  /\  E  e.  NN0 ) )  ->  R  e.  Mnd )
5 simpr1 1011 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e. 
NN0  /\  E  e.  NN0 ) )  ->  C  e.  NN0 )
6 srgbinom.s . . . 4  |-  S  =  ( Base `  R
)
7 srgbinom.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
8 srgbinom.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  R )
9 srgbinom.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
10 srgbinom.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  R )
11 srgbinom.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  G )
12 srgbinomlem.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
13 srgbinomlem.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
14 srgbinomlem.c . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
15 srgbinomlem.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15srgbinomlem1 17711 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( D  e.  NN0  /\  E  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( D  .^  A )  .X.  ( E  .^  B ) )  e.  S )
17163adantr1 1164 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e. 
NN0  /\  E  e.  NN0 ) )  ->  (
( D  .^  A
)  .X.  ( E  .^  B ) )  e.  S )
186, 8mulgnn0cl 16712 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  C  e.  NN0  /\  (
( D  .^  A
)  .X.  ( E  .^  B ) )  e.  S )  ->  ( C  .x.  ( ( D 
.^  A )  .X.  ( E  .^  B ) ) )  e.  S
)
194, 5, 17, 18syl3anc 1264 1  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e. 
NN0  /\  E  e.  NN0 ) )  ->  ( C  .x.  ( ( D 
.^  A )  .X.  ( E  .^  B ) ) )  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   NN0cn0 10815   Basecbs 15059   +g cplusg 15128   .rcmulr 15129   Mndcmnd 16473  .gcmg 16610  mulGrpcmgp 17661  SRingcsrg 17677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-fz 11731  df-seq 12159  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-plusg 15141  df-0g 15278  df-mgm 16426  df-sgrp 16465  df-mnd 16475  df-mulg 16614  df-cmn 17370  df-mgp 17662  df-srg 17678
This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  17713  srgbinomlem4  17714
  Copyright terms: Public domain W3C validator