MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem2 Structured version   Unicode version

Theorem srgbinomlem2 17709
Description: Lemma 2 for srgbinomlem 17712. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
srgbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
srgbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
srgbinomlem.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
srgbinomlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
srgbinomlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
srgbinomlem.c  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
srgbinomlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e. 
NN0  /\  E  e.  NN0 ) )  ->  ( C  .x.  ( ( D 
.^  A )  .X.  ( E  .^  B ) ) )  e.  S
)

Proof of Theorem srgbinomlem2
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
2 srgmnd 17678 . . . 4  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
43adantr 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e. 
NN0  /\  E  e.  NN0 ) )  ->  R  e.  Mnd )
5 simpr1 1011 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e. 
NN0  /\  E  e.  NN0 ) )  ->  C  e.  NN0 )
6 srgbinom.s . . . 4  |-  S  =  ( Base `  R
)
7 srgbinom.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
8 srgbinom.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  R )
9 srgbinom.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
10 srgbinom.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  R )
11 srgbinom.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  G )
12 srgbinomlem.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
13 srgbinomlem.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
14 srgbinomlem.c . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
15 srgbinomlem.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15srgbinomlem1 17708 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( D  e.  NN0  /\  E  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( D  .^  A )  .X.  ( E  .^  B ) )  e.  S )
17163adantr1 1164 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e. 
NN0  /\  E  e.  NN0 ) )  ->  (
( D  .^  A
)  .X.  ( E  .^  B ) )  e.  S )
186, 8mulgnn0cl 16725 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  C  e.  NN0  /\  (
( D  .^  A
)  .X.  ( E  .^  B ) )  e.  S )  ->  ( C  .x.  ( ( D 
.^  A )  .X.  ( E  .^  B ) ) )  e.  S
)
194, 5, 17, 18syl3anc 1264 1  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e. 
NN0  /\  E  e.  NN0 ) )  ->  ( C  .x.  ( ( D 
.^  A )  .X.  ( E  .^  B ) ) )  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   Mndcmnd 16486  .gcmg 16623  mulGrpcmgp 17658  SRingcsrg 17674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mulg 16627  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-srg 17675
This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  17710  srgbinomlem4  17711
  Copyright terms: Public domain W3C validator