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Theorem srgbinomlem 16766
Description: Lemma for srgbinom 16767. Inductive step, analogous to binomlem 13411. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
srgbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
srgbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
srgbinomlem.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
srgbinomlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
srgbinomlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
srgbinomlem.c  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
srgbinomlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
srgbinomlem.i  |-  ( ps 
->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    R, k    S, k    .x. , k    .X. , k    .^ , k    ph, k    .+ , k
Allowed substitution hints:    ps( k)    G( k)

Proof of Theorem srgbinomlem
StepHypRef Expression
1 srgbinom.s . . . 4  |-  S  =  ( Base `  R
)
2 srgbinom.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
3 srgbinom.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  R )
4 srgbinom.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
5 srgbinom.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  R )
6 srgbinom.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  G )
7 srgbinomlem.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
8 srgbinomlem.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
9 srgbinomlem.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
10 srgbinomlem.c . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
11 srgbinomlem.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
12 srgbinomlem.i . . . 4  |-  ( ps 
->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12srgbinomlem3 16764 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12srgbinomlem4 16765 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  B )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
1513, 14oveq12d 6219 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( N 
.^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  .+  (
( N  .^  ( A  .+  B ) ) 
.X.  B ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
165srgmgp 16735 . . . . . . 7  |-  ( R  e. SRing  ->  G  e.  Mnd )
177, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
18 srgmnd 16734 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
197, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
201, 4mndcl 15540 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  .+  B
)  e.  S )
2119, 8, 9, 20syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  .+  B
)  e.  S )
2217, 11, 213jca 1168 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  ( A  .+  B )  e.  S ) )
2322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  ( A  .+  B )  e.  S ) )
245, 1mgpbas 16720 . . . . 5  |-  S  =  ( Base `  G
)
255, 2mgpplusg 16718 . . . . 5  |-  .X.  =  ( +g  `  G )
2624, 6, 25mulgnn0p1 15758 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  ( A  .+  B )  e.  S )  ->  (
( N  +  1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  ( A  .+  B ) ) )
2723, 26syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( ( N 
.^  ( A  .+  B ) )  .X.  ( A  .+  B ) ) )
2824, 6mulgnn0cl 15763 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  ( A  .+  B )  e.  S )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S )
2917, 11, 21, 28syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S )
3029, 8, 93jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )
)
317, 30jca 532 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  e. SRing  /\  (
( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S ) ) )
3231adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  e. SRing  /\  (
( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S ) ) )
331, 4, 2srgdi 16740 . . . 4  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S ) )  -> 
( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( N 
.^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  .+  (
( N  .^  ( A  .+  B ) ) 
.X.  B ) ) )
3432, 33syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( N 
.^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  .+  (
( N  .^  ( A  .+  B ) ) 
.X.  B ) ) )
3527, 34eqtrd 2495 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  .+  (
( N  .^  ( A  .+  B ) ) 
.X.  B ) ) )
36 elfzelz 11571 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
37 bcpasc 12215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
3811, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
3938oveq1d 6216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
4019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  R  e.  Mnd )
41 bccl 12216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
4211, 36, 41syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
4311adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
4436adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
45 peano2zm 10800 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
47 bccl 12216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
4843, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
497adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  R  e. SRing )
5017adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
51 fznn0sub 11605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
5251adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
538adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A  e.  S )
5424, 6mulgnn0cl 15763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  NN0  /\  A  e.  S )  ->  ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  e.  S )
5550, 52, 53, 54syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  e.  S )
56 elfznn0 11599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
5756adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
589adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  S )
5924, 6mulgnn0cl 15763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  k  e.  NN0  /\  B  e.  S )  ->  (
k  .^  B )  e.  S )
6050, 57, 58, 59syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  .^  B )  e.  S )
611, 2srgcl 16737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  e.  S  /\  (
k  .^  B )  e.  S )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  e.  S )
6249, 55, 60, 61syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  e.  S )
631, 3, 4mulgnn0dir 15770 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( ( N  _C  k )  e.  NN0  /\  ( N  _C  (
k  -  1 ) )  e.  NN0  /\  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
)  e.  S ) )  ->  ( (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .+  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
6440, 42, 48, 62, 63syl13anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .+  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
6539, 64eqtr3d 2497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .+  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
6665mpteq2dva 4487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( ( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  .+  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
6766oveq2d 6217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .+  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) )
68 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
69 srgcmn 16733 . . . . . 6  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e. CMnd )
707, 69syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
71 fzfid 11913 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
721, 3mulgnn0cl 15763 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( N  _C  k
)  e.  NN0  /\  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
)  e.  S )  ->  ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  e.  S
)
7340, 42, 62, 72syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
7436, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
7511, 74, 47syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
761, 3mulgnn0cl 15763 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( N  _C  (
k  -  1 ) )  e.  NN0  /\  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
)  e.  S )  ->  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  e.  S
)
7740, 75, 62, 76syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
78 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
79 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
80 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) )
81 ovex 6226 . . . . . . 7  |-  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e. 
_V
8281a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e. 
_V )
83 fvex 5810 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
8580, 71, 82, 84fsuppmptdm 7743 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
86 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) )
87 ovex 6226 . . . . . . 7  |-  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e. 
_V
8887a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e. 
_V )
8986, 71, 88, 84fsuppmptdm 7743 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
901, 68, 4, 70, 71, 73, 77, 78, 79, 85, 89gsummptfsadd 16536 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .+  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
9167, 90eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
9291adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
9315, 35, 923eqtr4d 2505 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    |-> cmpt 4459   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    - cmin 9707   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ...cfz 11555    _C cbc 12196   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   .rcmulr 14359   0gc0g 14498    gsumg cgsu 14499   Mndcmnd 15529  .gcmg 15534  CMndccmn 16399  mulGrpcmgp 16714  SRingcsrg 16730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-srg 16731
This theorem is referenced by:  srgbinom  16767
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