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Theorem srgbinomlem 17308
Description: Lemma for srgbinom 17309. Inductive step, analogous to binomlem 13643. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
srgbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
srgbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
srgbinomlem.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
srgbinomlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
srgbinomlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
srgbinomlem.c  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
srgbinomlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
srgbinomlem.i  |-  ( ps 
->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    R, k    S, k    .x. , k    .X. , k    .^ , k    ph, k    .+ , k
Allowed substitution hints:    ps( k)    G( k)

Proof of Theorem srgbinomlem
StepHypRef Expression
1 srgbinom.s . . . 4  |-  S  =  ( Base `  R
)
2 srgbinom.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
3 srgbinom.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  R )
4 srgbinom.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
5 srgbinom.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  R )
6 srgbinom.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  G )
7 srgbinomlem.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
8 srgbinomlem.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
9 srgbinomlem.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
10 srgbinomlem.c . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
11 srgbinomlem.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
12 srgbinomlem.i . . . 4  |-  ( ps 
->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12srgbinomlem3 17306 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12srgbinomlem4 17307 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  B )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
1513, 14oveq12d 6214 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( N 
.^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  .+  (
( N  .^  ( A  .+  B ) ) 
.X.  B ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
165srgmgp 17275 . . . . . . 7  |-  ( R  e. SRing  ->  G  e.  Mnd )
177, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
18 srgmnd 17274 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
197, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
201, 4mndcl 16046 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  .+  B
)  e.  S )
2119, 8, 9, 20syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  .+  B
)  e.  S )
2217, 11, 213jca 1174 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  ( A  .+  B )  e.  S ) )
2322adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  ( A  .+  B )  e.  S ) )
245, 1mgpbas 17260 . . . . 5  |-  S  =  ( Base `  G
)
255, 2mgpplusg 17258 . . . . 5  |-  .X.  =  ( +g  `  G )
2624, 6, 25mulgnn0p1 16270 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  ( A  .+  B )  e.  S )  ->  (
( N  +  1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  ( A  .+  B ) ) )
2723, 26syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( ( N 
.^  ( A  .+  B ) )  .X.  ( A  .+  B ) ) )
2824, 6mulgnn0cl 16275 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  ( A  .+  B )  e.  S )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S )
2917, 11, 21, 28syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S )
3029, 8, 93jca 1174 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )
)
317, 30jca 530 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  e. SRing  /\  (
( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S ) ) )
3231adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  e. SRing  /\  (
( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S ) ) )
331, 4, 2srgdi 17280 . . . 4  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( N  .^  ( A  .+  B ) )  e.  S  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S ) )  -> 
( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( N 
.^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  .+  (
( N  .^  ( A  .+  B ) ) 
.X.  B ) ) )
3432, 33syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( N 
.^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  .+  (
( N  .^  ( A  .+  B ) ) 
.X.  B ) ) )
3527, 34eqtrd 2423 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( N  .^  ( A  .+  B ) )  .X.  A )  .+  (
( N  .^  ( A  .+  B ) ) 
.X.  B ) ) )
36 elfzelz 11609 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
37 bcpasc 12301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
3811, 36, 37syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
3938oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
4019adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  R  e.  Mnd )
41 bccl 12302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
4211, 36, 41syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
4311adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
4436adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
45 peano2zm 10824 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
47 bccl 12302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
4843, 46, 47syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
497adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  R  e. SRing )
5017adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
51 fznn0sub 11638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
5251adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
538adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A  e.  S )
5424, 6mulgnn0cl 16275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  NN0  /\  A  e.  S )  ->  ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  e.  S )
5550, 52, 53, 54syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  e.  S )
56 elfznn0 11693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
5756adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
589adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  S )
5924, 6mulgnn0cl 16275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  k  e.  NN0  /\  B  e.  S )  ->  (
k  .^  B )  e.  S )
6050, 57, 58, 59syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  .^  B )  e.  S )
611, 2srgcl 17277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  e.  S  /\  (
k  .^  B )  e.  S )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  e.  S )
6249, 55, 60, 61syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  e.  S )
631, 3, 4mulgnn0dir 16282 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( ( N  _C  k )  e.  NN0  /\  ( N  _C  (
k  -  1 ) )  e.  NN0  /\  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
)  e.  S ) )  ->  ( (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .+  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
6440, 42, 48, 62, 63syl13anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .+  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
6539, 64eqtr3d 2425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .+  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
6665mpteq2dva 4453 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( ( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  .+  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
6766oveq2d 6212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .+  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) )
68 srgcmn 17273 . . . . . 6  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e. CMnd )
697, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
70 fzfid 11986 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
711, 3mulgnn0cl 16275 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( N  _C  k
)  e.  NN0  /\  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
)  e.  S )  ->  ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  e.  S
)
7240, 42, 62, 71syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  .x.  ( (
( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
7336, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
7411, 73, 47syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
751, 3mulgnn0cl 16275 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( N  _C  (
k  -  1 ) )  e.  NN0  /\  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
)  e.  S )  ->  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  e.  S
)
7640, 74, 62, 75syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  e.  S )
77 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) )
78 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) )
791, 4, 69, 70, 72, 76, 77, 78gsummptfidmadd 17059 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )  .+  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  .x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
8067, 79eqtrd 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
8180adantr 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) 
|->  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  .x.  (
( ( ( N  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
8215, 35, 813eqtr4d 2433 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  |->  ( ( ( N  +  1 )  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( N  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    - cmin 9718   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ...cfz 11593    _C cbc 12282   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   .rcmulr 14703    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036  .gcmg 16173  CMndccmn 16915  mulGrpcmgp 17254  SRingcsrg 17270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-srg 17271
This theorem is referenced by:  srgbinom  17309
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