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Theorem srgbinom 16751
Description: The binomial theorem for commuting elements of a semiring:  ( A  +  B ) ^ N is the sum from  k  =  0 to  N of  ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ k
)  x.  ( B ^ ( N  -  k ) ) (generalization of binom 13397). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
srgbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
srgbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
srgbinom  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    R, k    S, k    .x. , k    .^ , k    .X. , k    .+ , k
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem srgbinom
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6199 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( 0  .^  ( A  .+  B ) ) )
2 oveq2 6200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... 0
) )
3 oveq1 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  _C  k )  =  ( 0  _C  k ) )
4 oveq1 6199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  -  k )  =  ( 0  -  k ) )
54oveq1d 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  -  k
)  .^  A )  =  ( ( 0  -  k )  .^  A ) )
65oveq1d 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( 0  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )
73, 6oveq12d 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( 0  _C  k )  .x.  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
82, 7mpteq12dv 4470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... 0
)  |->  ( ( 0  _C  k )  .x.  ( ( ( 0  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) ) )
98oveq2d 6208 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( 0  _C  k )  .x.  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
101, 9eqeq12d 2473 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k ) 
.x.  ( ( ( x  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  <->  ( 0  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( 0  _C  k )  .x.  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
1110imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) ) )  ->  ( x  .^  ( A  .+  B
) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  <->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) ) )  -> 
( 0  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) ) )
12 oveq1 6199 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( n  .^  ( A  .+  B ) ) )
13 oveq2 6200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... n
) )
14 oveq1 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
x  _C  k )  =  ( n  _C  k ) )
15 oveq1 6199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  (
x  -  k )  =  ( n  -  k ) )
1615oveq1d 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  -  k
)  .^  A )  =  ( ( n  -  k )  .^  A ) )
1716oveq1d 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( n  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )
1814, 17oveq12d 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
1913, 18mpteq12dv 4470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... n
)  |->  ( ( n  _C  k )  .x.  ( ( ( n  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) ) )
2019oveq2d 6208 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
2112, 20eqeq12d 2473 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k ) 
.x.  ( ( ( x  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  <->  ( n  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
2221imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) ) )  ->  ( x  .^  ( A  .+  B
) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  <->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) ) )  -> 
( n  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( n  _C  k ) 
.x.  ( ( ( n  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) ) )
23 oveq1 6199 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( ( n  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) ) )
24 oveq2 6200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... (
n  +  1 ) ) )
25 oveq1 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  _C  k )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
26 oveq1 6199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  -  k )  =  ( ( n  +  1 )  -  k ) )
2726oveq1d 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  -  k
)  .^  A )  =  ( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A ) )
2827oveq1d 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )
2925, 28oveq12d 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
3024, 29mpteq12dv 4470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... (
n  +  1 ) )  |->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  ( ( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) ) )
3130oveq2d 6208 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
3223, 31eqeq12d 2473 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k ) 
.x.  ( ( ( x  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  <->  ( ( n  +  1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
3332imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) ) )  ->  ( x  .^  ( A  .+  B
) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  <->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) )  |->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( n  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) ) )
34 oveq1 6199 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( N  .^  ( A  .+  B ) ) )
35 oveq2 6200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... N
) )
36 oveq1 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
x  _C  k )  =  ( N  _C  k ) )
37 oveq1 6199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  (
x  -  k )  =  ( N  -  k ) )
3837oveq1d 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  -  k
)  .^  A )  =  ( ( N  -  k )  .^  A ) )
3938oveq1d 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )
4036, 39oveq12d 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
4135, 40mpteq12dv 4470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... N
)  |->  ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) ) )
4241oveq2d 6208 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
4334, 42eqeq12d 2473 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k ) 
.x.  ( ( ( x  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  <->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
4443imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) ) )  ->  ( x  .^  ( A  .+  B
) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  <->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) ) )  -> 
( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) ) )
45 simpr1 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  A  e.  S
)
46 srgbinom.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (mulGrp `  R )
47 srgbinom.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( Base `  R
)
4846, 47mgpbas 16704 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( Base `  G
)
4945, 48syl6eleq 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  A  e.  (
Base `  G )
)
50 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
51 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
52 srgbinom.e . . . . . . . . . . 11  |-  .^  =  (.g
`  G )
5350, 51, 52mulg0 15736 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( Base `  G
)  ->  ( 0 
.^  A )  =  ( 0g `  G
) )
5449, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0  .^  A )  =  ( 0g `  G ) )
55 simpr2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  B  e.  S
)
5655, 48syl6eleq 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  B  e.  (
Base `  G )
)
5750, 51, 52mulg0 15736 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( Base `  G
)  ->  ( 0 
.^  B )  =  ( 0g `  G
) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0  .^  B )  =  ( 0g `  G ) )
5954, 58oveq12d 6210 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( ( 0 
.^  A )  .X.  ( 0  .^  B
) )  =  ( ( 0g `  G
)  .X.  ( 0g `  G ) ) )
6059oveq2d 6208 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 0  .^  A )  .X.  (
0  .^  B )
) )  =  ( 1  .x.  ( ( 0g `  G ) 
.X.  ( 0g `  G ) ) ) )
61 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
6247, 61srgidcl 16726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e. SRing  ->  ( 1r `  R )  e.  S
)
6362ancli 551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e. SRing  ->  ( R  e. SRing  /\  ( 1r `  R
)  e.  S ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( R  e. SRing  /\  ( 1r `  R
)  e.  S ) )
65 srgbinom.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .X.  =  ( .r `  R )
6647, 65, 61srglidm 16729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( 1r `  R )  e.  S )  ->  (
( 1r `  R
)  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
6867oveq2d 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 1r `  R )  .X.  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1 
.x.  ( 1r `  R ) ) )
69 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7069, 61srgidcl 16726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e. SRing  ->  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)
71 srgbinom.t . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  (.g
`  R )
7269, 71mulg1 15738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( 1 
.x.  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
7370, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. SRing  ->  ( 1  .x.  ( 1r `  R
) )  =  ( 1r `  R ) )
7473adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( 1r `  R
) )  =  ( 1r `  R ) )
7568, 74eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 1r `  R )  .X.  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r
`  R ) )
7646, 61rngidval 16712 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  G
)
77 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G
) )
7877, 77oveq12d 6210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G )  ->  (
( 1r `  R
)  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( 0g `  G )  .X.  ( 0g `  G ) ) )
7978oveq2d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G )  ->  (
1  .x.  ( ( 1r `  R )  .X.  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1  .x.  ( ( 0g `  G ) 
.X.  ( 0g `  G ) ) ) )
8079, 77eqeq12d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G )  ->  (
( 1  .x.  (
( 1r `  R
)  .X.  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r `  R )  <->  ( 1 
.x.  ( ( 0g
`  G )  .X.  ( 0g `  G ) ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
8176, 80ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  .x.  ( ( 1r `  R ) 
.X.  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r `  R )  <->  ( 1 
.x.  ( ( 0g
`  G )  .X.  ( 0g `  G ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
8275, 81sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 0g `  G )  .X.  ( 0g `  G ) ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8360, 82eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 0  .^  A )  .X.  (
0  .^  B )
) )  =  ( 0g `  G ) )
84 0z 10760 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
85 fzsn 11603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
8786a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0 ... 0 )  =  {
0 } )
8887mpteq1d 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... 0
)  |->  ( ( 0  _C  k )  .x.  ( ( ( 0  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) )  =  ( k  e.  {
0 }  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
8988oveq2d 6208 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
0 }  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
90 srgmnd 16718 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
9190adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  R  e.  Mnd )
92 c0ex 9483 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
9392a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  0  e.  _V )
9476, 62syl5eqelr 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. SRing  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
9594adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
9683, 95eqeltrd 2539 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 0  .^  A )  .X.  (
0  .^  B )
) )  e.  S
)
97 oveq2 6200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  ( 0  _C  0 ) )
98 0nn0 10697 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
99 bcn0 12189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( 0  _C  0 )  =  1 )
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  _C  0 )  =  1
10197, 100syl6eq 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  1 )
102 oveq2 6200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
0  -  k )  =  ( 0  -  0 ) )
103 0m0e0 10534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  0 )  =  0
104102, 103syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
0  -  k )  =  0 )
105104oveq1d 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( 0  -  k
)  .^  A )  =  ( 0  .^  A ) )
106 oveq1 6199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
k  .^  B )  =  ( 0  .^  B ) )
107105, 106oveq12d 6210 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( 0  .^  A )  .X.  (
0  .^  B )
) )
108101, 107oveq12d 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( 0  _C  k
)  .x.  ( (
( 0  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( 1  .x.  (
( 0  .^  A
)  .X.  ( 0 
.^  B ) ) ) )
10947, 108gsumsn 16556 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  0  e.  _V  /\  (
1  .x.  ( (
0  .^  A )  .X.  ( 0  .^  B
) ) )  e.  S )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
0 }  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  =  ( 1 
.x.  ( ( 0 
.^  A )  .X.  ( 0  .^  B
) ) ) )
11091, 93, 96, 109syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  { 0 } 
|->  ( ( 0  _C  k )  .x.  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( 1  .x.  ( ( 0  .^  A )  .X.  ( 0  .^  B
) ) ) )
11189, 110eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  =  ( 1 
.x.  ( ( 0 
.^  A )  .X.  ( 0  .^  B
) ) ) )
112 srgbinom.a . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  R )
11347, 112mndcl 15524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  .+  B
)  e.  S )
11491, 45, 55, 113syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( A  .+  B )  e.  S
)
115114, 48syl6eleq 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( A  .+  B )  e.  (
Base `  G )
)
11650, 51, 52mulg0 15736 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .+  B )  e.  ( Base `  G
)  ->  ( 0 
.^  ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) )
117115, 116syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( 0g
`  G ) )
11883, 111, 1173eqtr4rd 2503 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( 0  _C  k )  .x.  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
119 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  ->  R  e. SRing )
12045adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  ->  A  e.  S )
12155adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  ->  B  e.  S )
122 simprr3 1038 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  ->  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A )
)
123 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
124 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  ->  (
n  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
12547, 65, 71, 112, 46, 52, 119, 120, 121, 122, 123, 124srgbinomlem 16750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  /\  ( n 
.^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) )  |->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( n  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
126125exp31 604 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( ( n 
.^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) ) )
127126a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( n  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  -> 
( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) ) )  ->  ( (
n  +  1 ) 
.^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) ) )
12811, 22, 33, 44, 118, 127nn0ind 10841 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
129128expd 436 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( R  e. SRing  ->  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) ) )
130129impcom 430 . 2  |-  ( ( R  e. SRing  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
131130imp 429 1  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070   {csn 3977    |-> cmpt 4450   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    - cmin 9698   NN0cn0 10682   ZZcz 10749   ...cfz 11540    _C cbc 12181   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   .rcmulr 14343   0gc0g 14482    gsumg cgsu 14483   Mndcmnd 15513  .gcmg 15518  mulGrpcmgp 16698   1rcur 16710  SRingcsrg 16714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-srg 16715
This theorem is referenced by:  csrgbinom  16752
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