MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinom Structured version   Unicode version

Theorem srgbinom 16984
Description: The binomial theorem for commuting elements of a semiring:  ( A  +  B ) ^ N is the sum from  k  =  0 to  N of  ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ k
)  x.  ( B ^ ( N  -  k ) ) (generalization of binom 13601). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
srgbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
srgbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
srgbinom  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    R, k    S, k    .x. , k    .^ , k    .X. , k    .+ , k
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem srgbinom
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( 0  .^  ( A  .+  B ) ) )
2 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... 0
) )
3 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  _C  k )  =  ( 0  _C  k ) )
4 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  -  k )  =  ( 0  -  k ) )
54oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  -  k
)  .^  A )  =  ( ( 0  -  k )  .^  A ) )
65oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( 0  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )
73, 6oveq12d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( 0  _C  k )  .x.  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
82, 7mpteq12dv 4525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... 0
)  |->  ( ( 0  _C  k )  .x.  ( ( ( 0  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) ) )
98oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( 0  _C  k )  .x.  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
101, 9eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k ) 
.x.  ( ( ( x  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  <->  ( 0  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( 0  _C  k )  .x.  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
1110imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) ) )  ->  ( x  .^  ( A  .+  B
) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  <->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) ) )  -> 
( 0  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) ) )
12 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( n  .^  ( A  .+  B ) ) )
13 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... n
) )
14 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
x  _C  k )  =  ( n  _C  k ) )
15 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  (
x  -  k )  =  ( n  -  k ) )
1615oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  -  k
)  .^  A )  =  ( ( n  -  k )  .^  A ) )
1716oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( n  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )
1814, 17oveq12d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
1913, 18mpteq12dv 4525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... n
)  |->  ( ( n  _C  k )  .x.  ( ( ( n  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) ) )
2019oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
2112, 20eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k ) 
.x.  ( ( ( x  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  <->  ( n  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
2221imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) ) )  ->  ( x  .^  ( A  .+  B
) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  <->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) ) )  -> 
( n  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( n  _C  k ) 
.x.  ( ( ( n  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) ) )
23 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( ( n  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) ) )
24 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... (
n  +  1 ) ) )
25 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  _C  k )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
26 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  -  k )  =  ( ( n  +  1 )  -  k ) )
2726oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  -  k
)  .^  A )  =  ( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A ) )
2827oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )
2925, 28oveq12d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
3024, 29mpteq12dv 4525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... (
n  +  1 ) )  |->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  ( ( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) ) )
3130oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
3223, 31eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k ) 
.x.  ( ( ( x  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  <->  ( ( n  +  1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
3332imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) ) )  ->  ( x  .^  ( A  .+  B
) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  <->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) )  |->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( n  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) ) )
34 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( N  .^  ( A  .+  B ) ) )
35 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... N
) )
36 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
x  _C  k )  =  ( N  _C  k ) )
37 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  (
x  -  k )  =  ( N  -  k ) )
3837oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  -  k
)  .^  A )  =  ( ( N  -  k )  .^  A ) )
3938oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) )
4036, 39oveq12d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) )
4135, 40mpteq12dv 4525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k
)  .x.  ( (
( x  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... N
)  |->  ( ( N  _C  k )  .x.  ( ( ( N  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) ) )
4241oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
4334, 42eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( x  _C  k ) 
.x.  ( ( ( x  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  <->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
4443imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) ) )  ->  ( x  .^  ( A  .+  B
) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( x  _C  k )  .x.  (
( ( x  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  <->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) ) )  -> 
( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) ) ) )
45 simpr1 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  A  e.  S
)
46 srgbinom.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (mulGrp `  R )
47 srgbinom.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( Base `  R
)
4846, 47mgpbas 16937 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( Base `  G
)
4945, 48syl6eleq 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  A  e.  (
Base `  G )
)
50 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
51 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
52 srgbinom.e . . . . . . . . . . 11  |-  .^  =  (.g
`  G )
5350, 51, 52mulg0 15947 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( Base `  G
)  ->  ( 0 
.^  A )  =  ( 0g `  G
) )
5449, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0  .^  A )  =  ( 0g `  G ) )
55 simpr2 1003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  B  e.  S
)
5655, 48syl6eleq 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  B  e.  (
Base `  G )
)
5750, 51, 52mulg0 15947 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( Base `  G
)  ->  ( 0 
.^  B )  =  ( 0g `  G
) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0  .^  B )  =  ( 0g `  G ) )
5954, 58oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( ( 0 
.^  A )  .X.  ( 0  .^  B
) )  =  ( ( 0g `  G
)  .X.  ( 0g `  G ) ) )
6059oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 0  .^  A )  .X.  (
0  .^  B )
) )  =  ( 1  .x.  ( ( 0g `  G ) 
.X.  ( 0g `  G ) ) ) )
61 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
6247, 61srgidcl 16959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e. SRing  ->  ( 1r `  R )  e.  S
)
6362ancli 551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e. SRing  ->  ( R  e. SRing  /\  ( 1r `  R
)  e.  S ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( R  e. SRing  /\  ( 1r `  R
)  e.  S ) )
65 srgbinom.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .X.  =  ( .r `  R )
6647, 65, 61srglidm 16962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( 1r `  R )  e.  S )  ->  (
( 1r `  R
)  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
6867oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 1r `  R )  .X.  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1 
.x.  ( 1r `  R ) ) )
69 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7069, 61srgidcl 16959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e. SRing  ->  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)
71 srgbinom.t . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  (.g
`  R )
7269, 71mulg1 15949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( 1 
.x.  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
7370, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. SRing  ->  ( 1  .x.  ( 1r `  R
) )  =  ( 1r `  R ) )
7473adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( 1r `  R
) )  =  ( 1r `  R ) )
7568, 74eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 1r `  R )  .X.  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r
`  R ) )
7646, 61rngidval 16945 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  G
)
77 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G
) )
7877, 77oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G )  ->  (
( 1r `  R
)  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( 0g `  G )  .X.  ( 0g `  G ) ) )
7978oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G )  ->  (
1  .x.  ( ( 1r `  R )  .X.  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1  .x.  ( ( 0g `  G ) 
.X.  ( 0g `  G ) ) ) )
8079, 77eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G )  ->  (
( 1  .x.  (
( 1r `  R
)  .X.  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r `  R )  <->  ( 1 
.x.  ( ( 0g
`  G )  .X.  ( 0g `  G ) ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
8176, 80ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  .x.  ( ( 1r `  R ) 
.X.  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r `  R )  <->  ( 1 
.x.  ( ( 0g
`  G )  .X.  ( 0g `  G ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
8275, 81sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 0g `  G )  .X.  ( 0g `  G ) ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8360, 82eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 0  .^  A )  .X.  (
0  .^  B )
) )  =  ( 0g `  G ) )
84 0z 10871 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
85 fzsn 11721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
8786a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0 ... 0 )  =  {
0 } )
8887mpteq1d 4528 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... 0
)  |->  ( ( 0  _C  k )  .x.  ( ( ( 0  -  k )  .^  A )  .X.  (
k  .^  B )
) ) )  =  ( k  e.  {
0 }  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )
8988oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
0 }  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
90 srgmnd 16951 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
9190adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  R  e.  Mnd )
92 c0ex 9586 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
9392a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  0  e.  _V )
9476, 62syl5eqelr 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. SRing  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
9594adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
9683, 95eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 1  .x.  ( ( 0  .^  A )  .X.  (
0  .^  B )
) )  e.  S
)
97 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  ( 0  _C  0 ) )
98 0nn0 10806 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
99 bcn0 12352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( 0  _C  0 )  =  1 )
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  _C  0 )  =  1
10197, 100syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  1 )
102 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
0  -  k )  =  ( 0  -  0 ) )
103 0m0e0 10641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  0 )  =  0
104102, 103syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
0  -  k )  =  0 )
105104oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( 0  -  k
)  .^  A )  =  ( 0  .^  A ) )
106 oveq1 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
k  .^  B )  =  ( 0  .^  B ) )
107105, 106oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) )  =  ( ( 0  .^  A )  .X.  (
0  .^  B )
) )
108101, 107oveq12d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( 0  _C  k
)  .x.  ( (
( 0  -  k
)  .^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) )  =  ( 1  .x.  (
( 0  .^  A
)  .X.  ( 0 
.^  B ) ) ) )
10947, 108gsumsn 16772 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  0  e.  _V  /\  (
1  .x.  ( (
0  .^  A )  .X.  ( 0  .^  B
) ) )  e.  S )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
0 }  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  =  ( 1 
.x.  ( ( 0 
.^  A )  .X.  ( 0  .^  B
) ) ) )
11091, 93, 96, 109syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  { 0 } 
|->  ( ( 0  _C  k )  .x.  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  =  ( 1  .x.  ( ( 0  .^  A )  .X.  ( 0  .^  B
) ) ) )
11189, 110eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( 0  _C  k ) 
.x.  ( ( ( 0  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) )  =  ( 1 
.x.  ( ( 0 
.^  A )  .X.  ( 0  .^  B
) ) ) )
112 srgbinom.a . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  R )
11347, 112mndcl 15733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  .+  B
)  e.  S )
11491, 45, 55, 113syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( A  .+  B )  e.  S
)
115114, 48syl6eleq 2565 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( A  .+  B )  e.  (
Base `  G )
)
11650, 51, 52mulg0 15947 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .+  B )  e.  ( Base `  G
)  ->  ( 0 
.^  ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) )
117115, 116syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( 0g
`  G ) )
11883, 111, 1173eqtr4rd 2519 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( 0  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( 0  _C  k )  .x.  (
( ( 0  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
119 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  ->  R  e. SRing )
12045adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  ->  A  e.  S )
12155adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  ->  B  e.  S )
122 simprr3 1046 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  ->  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A )
)
123 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
124 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  ->  (
n  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
12547, 65, 71, 112, 46, 52, 119, 120, 121, 122, 123, 124srgbinomlem 16983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) ) )  /\  ( n 
.^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) )  |->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k ) 
.x.  ( ( ( ( n  +  1 )  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
126125exp31 604 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( ( n 
.^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) ) )
127126a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( n  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( n  _C  k )  .x.  (
( ( n  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )  -> 
( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) ) )  ->  ( (
n  +  1 ) 
.^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) 
|->  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  .x.  (
( ( ( n  +  1 )  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) ) )
12811, 22, 33, 44, 118, 127nn0ind 10953 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( R  e. SRing  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
129128expd 436 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( R  e. SRing  ->  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A
) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) ) )
130129impcom 430 . 2  |-  ( ( R  e. SRing  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) ) )
131130imp 429 1  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  ( A  .X.  B )  =  ( B  .X.  A ) ) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    - cmin 9801   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11668    _C cbc 12344   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   .rcmulr 14552   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692   Mndcmnd 15722  .gcmg 15727  mulGrpcmgp 16931   1rcur 16943  SRingcsrg 16947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-srg 16948
This theorem is referenced by:  csrgbinom  16985
  Copyright terms: Public domain W3C validator