Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srasca Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem srasca 18482
 Description: The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a subringAlg
srapart.s
Assertion
Ref Expression
srasca s Scalar

Proof of Theorem srasca
StepHypRef Expression
1 scaid 15336 . . . . 5 Scalar Slot Scalar
2 5re 10710 . . . . . . 7
3 5lt6 10809 . . . . . . 7
42, 3ltneii 9765 . . . . . 6
5 scandx 15335 . . . . . . 7 Scalar
6 vscandx 15337 . . . . . . 7
75, 6neeq12i 2709 . . . . . 6 Scalar
84, 7mpbir 214 . . . . 5 Scalar
91, 8setsnid 15243 . . . 4 Scalar sSet Scalar s Scalar sSet Scalar s sSet
10 5lt8 10822 . . . . . . 7
112, 10ltneii 9765 . . . . . 6
12 ipndx 15344 . . . . . . 7
135, 12neeq12i 2709 . . . . . 6 Scalar
1411, 13mpbir 214 . . . . 5 Scalar
151, 14setsnid 15243 . . . 4 Scalar sSet Scalar s sSet Scalar sSet Scalar s sSet sSet
169, 15eqtri 2493 . . 3 Scalar sSet Scalar s Scalar sSet Scalar s sSet sSet
17 ovex 6336 . . . . 5 s
1817a1i 11 . . . 4 s
191setsid 15242 . . . 4 s s Scalar sSet Scalar s
2018, 19sylan2 482 . . 3 s Scalar sSet Scalar s
21 srapart.a . . . . . 6 subringAlg
2221adantl 473 . . . . 5 subringAlg
23 srapart.s . . . . . 6
24 sraval 18477 . . . . . 6 subringAlg sSet Scalar s sSet sSet
2523, 24sylan2 482 . . . . 5 subringAlg sSet Scalar s sSet sSet
2622, 25eqtrd 2505 . . . 4 sSet Scalar s sSet sSet
2726fveq2d 5883 . . 3 Scalar Scalar sSet Scalar s sSet sSet
2816, 20, 273eqtr4a 2531 . 2 s Scalar
291str0 15239 . . 3 Scalar
30 reldmress 15253 . . . . 5 s
3130ovprc1 6339 . . . 4 s
3231adantr 472 . . 3 s
33 fvprc 5873 . . . . . . 7 subringAlg
3433fveq1d 5881 . . . . . 6 subringAlg
35 0fv 5912 . . . . . 6
3634, 35syl6eq 2521 . . . . 5 subringAlg
3721, 36sylan9eqr 2527 . . . 4
3837fveq2d 5883 . . 3 Scalar Scalar
3929, 32, 383eqtr4a 2531 . 2 s Scalar
4028, 39pm2.61ian 807 1 s Scalar
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cop 3965  cfv 5589  (class class class)co 6308  c5 10684  c6 10685  c8 10687  cnx 15196   sSet csts 15197  cbs 15199   ↾s cress 15200  cmulr 15269  Scalarcsca 15271  cvsca 15272  cip 15273  subringAlg csra 18469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-sets 15205  df-ress 15206  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-sra 18473 This theorem is referenced by:  sralmod  18488  rlmsca  18501  rlmsca2  18502  sraassa  18626  frlmip  19413  sranlm  21765  srabn  22405  rrxprds  22426
 Copyright terms: Public domain W3C validator