MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srads Structured version   Unicode version

Theorem srads 17959
Description: Distance function of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a  |-  ( ph  ->  A  =  ( (subringAlg  `  W ) `  S
) )
srapart.s  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
Assertion
Ref Expression
srads  |-  ( ph  ->  ( dist `  W
)  =  ( dist `  A ) )

Proof of Theorem srads
StepHypRef Expression
1 srapart.a . 2  |-  ( ph  ->  A  =  ( (subringAlg  `  W ) `  S
) )
2 srapart.s . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
3 df-ds 14734 . 2  |-  dist  = Slot ; 1 2
4 1nn0 10832 . . 3  |-  1  e.  NN0
5 2nn 10714 . . 3  |-  2  e.  NN
64, 5decnncl 11013 . 2  |- ; 1 2  e.  NN
7 1nn 10567 . . . 4  |-  1  e.  NN
8 2nn0 10833 . . . 4  |-  2  e.  NN0
9 8nn0 10839 . . . 4  |-  8  e.  NN0
10 8lt10 10760 . . . 4  |-  8  <  10
117, 8, 9, 10declti 11025 . . 3  |-  8  < ; 1
2
1211olci 391 . 2  |-  (; 1 2  <  5  \/  8  < ; 1 2 )
131, 2, 3, 6, 12sralem 17950 1  |-  ( ph  ->  ( dist `  W
)  =  ( dist `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   1c1 9510    < clt 9645   2c2 10606   5c5 10609   8c8 10612  ;cdc 11000   Basecbs 14644   distcds 14721  subringAlg csra 17941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-sets 14650  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-ds 14734  df-sra 17945
This theorem is referenced by:  rlmds  17977  sranlm  21319  srabn  21926
  Copyright terms: Public domain W3C validator