MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srabn Structured version   Unicode version

Theorem srabn 21666
Description: The subring algebra over a complete normed ring is a Banach space iff the subring is a closed division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srabn.a  |-  A  =  ( (subringAlg  `  W ) `
 S )
srabn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
srabn  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. Ban  <->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) ) )

Proof of Theorem srabn
StepHypRef Expression
1 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  W  e. CMetSp )
2 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( Base `  W )  =  ( Base `  W
) )
3 srabn.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( (subringAlg  `  W ) `
 S )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  A  =  ( (subringAlg  `  W ) `  S
) )
5 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
65subrgss 17299 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
763ad2ant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
84, 7srabase 17693 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( Base `  W )  =  ( Base `  A
) )
94, 7srads 17701 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( dist `  W )  =  ( dist `  A
) )
109reseq1d 5278 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  =  ( (
dist `  A )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )
114, 7sratopn 17700 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( TopOpen `  W )  =  ( TopOpen `  A
) )
122, 8, 10, 11cmspropd 21654 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( W  e. CMetSp  <->  A  e. CMetSp ) )
131, 12mpbid 210 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  A  e. CMetSp )
14 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (Scalar `  A )  =  (Scalar `  A )
1514isbn 21643 . . . . 5  |-  ( A  e. Ban 
<->  ( A  e. NrmVec  /\  A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A
)  e. CMetSp ) )
16 3anrot 978 . . . . 5  |-  ( ( A  e. NrmVec  /\  A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A )  e. CMetSp )  <->  ( A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )
)
17 3anass 977 . . . . 5  |-  ( ( A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )  <->  ( A  e. CMetSp  /\  ( (Scalar `  A
)  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec
) ) )
1815, 16, 173bitri 271 . . . 4  |-  ( A  e. Ban 
<->  ( A  e. CMetSp  /\  (
(Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )
) )
1918baib 901 . . 3  |-  ( A  e. CMetSp  ->  ( A  e. Ban  <->  ( (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )
) )
2013, 19syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. Ban  <->  ( (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec ) ) )
214, 7srasca 17696 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )
2221eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( Ws  S )  e. CMetSp 
<->  (Scalar `  A )  e. CMetSp ) )
23 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Ws  S )  =  ( Ws  S )
24 srabn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
2523, 5, 24cmsss 21655 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  S  C_  ( Base `  W )
)  ->  ( ( Ws  S )  e. CMetSp  <->  S  e.  ( Clsd `  J )
) )
261, 7, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( Ws  S )  e. CMetSp 
<->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
2722, 26bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( (Scalar `  A
)  e. CMetSp  <->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
283sranlm 21059 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  S  e.  (SubRing `  W )
)  ->  A  e. NrmMod )
29283adant2 1015 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  A  e. NrmMod )
3014isnvc2 21073 . . . . . 6  |-  ( A  e. NrmVec 
<->  ( A  e. NrmMod  /\  (Scalar `  A )  e.  DivRing ) )
3130baib 901 . . . . 5  |-  ( A  e. NrmMod  ->  ( A  e. NrmVec  <->  (Scalar `  A )  e.  DivRing ) )
3229, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. NrmVec  <->  (Scalar `  A
)  e.  DivRing ) )
3321eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( Ws  S )  e.  DivRing 
<->  (Scalar `  A )  e.  DivRing ) )
3432, 33bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. NrmVec  <->  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) )
3527, 34anbi12d 710 . 2  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )  <->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) ) )
3620, 35bitrd 253 1  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. Ban  <->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14506   ↾s cress 14507  Scalarcsca 14574   distcds 14580   TopOpenctopn 14693   DivRingcdr 17265  SubRingcsubrg 17294  subringAlg csra 17683   Clsdccld 19383  NrmRingcnrg 20966  NrmModcnlm 20967  NrmVeccnvc 20968  CMetSpccms 21637  Bancbn 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-icc 11548  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ds 14593  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-topgen 14715  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-subrg 17296  df-abv 17335  df-lmod 17383  df-lvec 17618  df-sra 17687  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-haus 19682  df-fil 20213  df-flim 20306  df-xms 20689  df-ms 20690  df-nm 20969  df-ngp 20970  df-nrg 20972  df-nlm 20973  df-nvc 20974  df-cfil 21560  df-cmet 21562  df-cms 21640  df-bn 21641
This theorem is referenced by:  rlmbn  21667
  Copyright terms: Public domain W3C validator