MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srabn Structured version   Unicode version

Theorem srabn 20872
Description: The subring algebra over a complete normed ring is a Banach space iff the subring is a closed division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srabn.a  |-  A  =  ( (subringAlg  `  W ) `
 S )
srabn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
srabn  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. Ban  <->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) ) )

Proof of Theorem srabn
StepHypRef Expression
1 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  W  e. CMetSp )
2 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( Base `  W )  =  ( Base `  W
) )
3 srabn.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( (subringAlg  `  W ) `
 S )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  A  =  ( (subringAlg  `  W ) `  S
) )
5 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
65subrgss 16866 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  S  C_  ( Base `  W ) )
763ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
84, 7srabase 17259 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( Base `  W )  =  ( Base `  A
) )
94, 7srads 17267 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( dist `  W )  =  ( dist `  A
) )
109reseq1d 5109 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  =  ( (
dist `  A )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )
114, 7sratopn 17266 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( TopOpen `  W )  =  ( TopOpen `  A
) )
122, 8, 10, 11cmspropd 20860 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( W  e. CMetSp  <->  A  e. CMetSp ) )
131, 12mpbid 210 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  A  e. CMetSp )
14 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Scalar `  A )  =  (Scalar `  A )
1514isbn 20849 . . . . 5  |-  ( A  e. Ban 
<->  ( A  e. NrmVec  /\  A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A
)  e. CMetSp ) )
16 3anrot 970 . . . . 5  |-  ( ( A  e. NrmVec  /\  A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A )  e. CMetSp )  <->  ( A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )
)
17 3anass 969 . . . . 5  |-  ( ( A  e. CMetSp  /\  (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )  <->  ( A  e. CMetSp  /\  ( (Scalar `  A
)  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec
) ) )
1815, 16, 173bitri 271 . . . 4  |-  ( A  e. Ban 
<->  ( A  e. CMetSp  /\  (
(Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )
) )
1918baib 896 . . 3  |-  ( A  e. CMetSp  ->  ( A  e. Ban  <->  ( (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )
) )
2013, 19syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. Ban  <->  ( (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec ) ) )
214, 7srasca 17262 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( Ws  S )  =  (Scalar `  A ) )
2221eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( Ws  S )  e. CMetSp 
<->  (Scalar `  A )  e. CMetSp ) )
23 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Ws  S )  =  ( Ws  S )
24 srabn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
2523, 5, 24cmsss 20861 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  S  C_  ( Base `  W )
)  ->  ( ( Ws  S )  e. CMetSp  <->  S  e.  ( Clsd `  J )
) )
261, 7, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( Ws  S )  e. CMetSp 
<->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
2722, 26bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( (Scalar `  A
)  e. CMetSp  <->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
283sranlm 20265 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  S  e.  (SubRing `  W )
)  ->  A  e. NrmMod )
29283adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  ->  A  e. NrmMod )
3014isnvc2 20279 . . . . . 6  |-  ( A  e. NrmVec 
<->  ( A  e. NrmMod  /\  (Scalar `  A )  e.  DivRing ) )
3130baib 896 . . . . 5  |-  ( A  e. NrmMod  ->  ( A  e. NrmVec  <->  (Scalar `  A )  e.  DivRing ) )
3229, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. NrmVec  <->  (Scalar `  A
)  e.  DivRing ) )
3321eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( Ws  S )  e.  DivRing 
<->  (Scalar `  A )  e.  DivRing ) )
3432, 33bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. NrmVec  <->  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) )
3527, 34anbi12d 710 . 2  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( ( (Scalar `  A )  e. CMetSp  /\  A  e. NrmVec )  <->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) ) )
3620, 35bitrd 253 1  |-  ( ( W  e. NrmRing  /\  W  e. CMetSp  /\  S  e.  (SubRing `  W ) )  -> 
( A  e. Ban  <->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( Ws  S
)  e.  DivRing ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3328    X. cxp 4838   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   ↾s cress 14175  Scalarcsca 14241   distcds 14247   TopOpenctopn 14360   DivRingcdr 16832  SubRingcsubrg 16861  subringAlg csra 17249   Clsdccld 18620  NrmRingcnrg 20172  NrmModcnlm 20173  NrmVeccnvc 20174  CMetSpccms 20843  Bancbn 20844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ico 11306  df-icc 11307  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ds 14260  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-topgen 14382  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-subrg 16863  df-abv 16902  df-lmod 16950  df-lvec 17184  df-sra 17253  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-haus 18919  df-fil 19419  df-flim 19512  df-xms 19895  df-ms 19896  df-nm 20175  df-ngp 20176  df-nrg 20178  df-nlm 20179  df-nvc 20180  df-cfil 20766  df-cmet 20768  df-cms 20846  df-bn 20847
This theorem is referenced by:  rlmbn  20873
  Copyright terms: Public domain W3C validator